Nội dung bài xích học để giúp đỡ các em vậy được khái niệm, cách xác minh góc giữa hai khía cạnh phẳng, mối liên hệ của diện tích nhiều giác với hình chiếu của nó, các điều khiếu nại để hai mặt phẳng vuông góc nhau. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các tài năng giải bài xích tập liên quan đến xác định góc thân hai mặt phẳng, chứng minh hai phương diện phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: 2 mặt phẳng vuông góc với nhau


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Góc thân hai khía cạnh phẳng

1.2. Nhị mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp rất nhiều và hình chóp cụt đều

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 4 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai mặt phẳng vuông góc

3.2 bài tập SGK và nâng cấp vềHai mặt phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học 11


*

a) Định nghĩa

Góc thân hai phương diện phẳng là góc giữa hai tuyến đường thẳng theo lần lượt vuông góc với nhị mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu nhì mặt phẳng tuy vậy song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc thân hai khía cạnh phẳng đó bởi 0o.

b) Cách khẳng định góc thân hai khía cạnh phẳng giảm nhau:

Cho hai mặt phẳng (P) cùng (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kì thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi đó góc giữa hai phương diện phẳng (P), (Q) là góc giữa hai tuyến phố thẳng a và b.

*

c) diện tích hình chiếu của một nhiều giác

Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích s hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),(varphi)là góc giữa (P) với (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).


1.2. Nhị mặt phẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai phương diện phẳng được call là vuông góc cùng với nhau nếu như góc giữa chúng bằng 90o.

b) những định lýĐịnh lý 1:Nếu một khía cạnh phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng không giống thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

*

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

Hệ trái 1: nếu như hai phương diện phẳng (P) cùng (Q) vuông góc với nhau thì bất kể đường thẳng a nào phía trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) hầu hết vuông góc với khía cạnh phẳng (Q).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

Hệ trái 2: nếu hai khía cạnh phẳng (P) với (Q) vuông góc với nhau với A là một điểm trong (P) thì mặt đường thẳng a đi qua điểm A cùng vuông góc với (Q) sẽ bên trong (P).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

Hệ quả 3:Nếu nhì mặt phẳng giảm nhau và thuộc vuông góc với phương diện phẳng thứ cha thì giao tuyến đường của bọn chúng vuông góc với khía cạnh phẳng lắp thêm ba.

*

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))


1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương


a) Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có lân cận vuông góc với đáy.

Nhận xét: những mặt mặt của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với phương diện đáy.

*
*

b) Hình lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ hầu như là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Nhận xét: các mặt mặt của hình lăng trụ đông đảo là hầu hết hình chữ nhật cân nhau và vuông góc với mặt đáy.

*

c) Hình hộp đứng

Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình hộp đứng tư mặt mặt đều là hình chữ nhật.

*

d) Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng tất cả đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 khía cạnh của hình hộp chữ nhật những là hình chữ nhật.

e) Hình lập phương

Định nghĩa: Hình lập phương là hình vỏ hộp chữ nhật có toàn bộ các cạnh bằng nhau.

*


1.4. Hình chóp rất nhiều và hình chóp cụt đều


a) Hình chóp đều

Định nghĩa: Một hình chóp được hotline là hình chóp phần đông nếu đáy của chính nó là đa giác đầy đủ và các ở bên cạnh bằng nhau.

*

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp những đáy của chính nó là nhiều giác mọi và chân con đường cao của hình chóp trùng với trọng tâm của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là nhiều giác phần đa và các ở kề bên tạo voéi mặt đáy các góc bởi nhau.

b) Hình chóp cụt

Định nghĩa: Khi giảm hình chóp phần đa bởi một mặt phẳng tuy vậy song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

*

Nhận xét:

Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đầy đủ đồng dạng với nhau.Đoạn nối trung tâm 2 đáy được điện thoại tư vấn là mặt đường cao của hình chóp cụt đều.Trong hình chóp cụt đều các mặt mặt là đầy đủ hình thang thăng bằng nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bao gồm cạnh bởi a. Tính số đo của góc thân (BA’C) cùng (DA’C).

Hướng dẫn giải:

*

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bh = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc thân hai mp(ABC) cùng (AB’I).

Hướng dẫn giải:

*

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai khía cạnh phẳng (ABC) và (AB’I).

Theo công thức hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Minh chứng rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Hướng dẫn giải:

*

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân tại A với O là trung điểm của AC phải SO là đường cao của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). điện thoại tư vấn M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC với BM. Chứng minh rằng:((SAC) ot (SMB).)

Lời giải:

*

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: Người Ta Xếp 800 Cái Bánh Vào Các Hộp, Mỗi Hộp 4 Cái, Câu Hỏi Của Nguyễn Thuỳ Linh

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ tự (1) và (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)