A. Tóm tắt lý thuyết

I. Đường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng d được call là vuông góc với khía cạnh phẳng (α) giả dụ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (α).

Bạn đang xem: Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11

Khi kia ta còn nói (α) vuông góc với d và kí hiệu

*

II. Điều kiện nhằm dường thẳng vuông góc với phương diện phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau phía bên trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. Tính chất

1. Bao gồm duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm đến trước cùng vuông góc cùng với một đường thẳng cho trước.

2. Có duy nhất một mặt đường thẳng đi qua một điểm mang lại trước và vuông góc cùng với một phương diện phẳng mang lại trước.

IV. Sự tương quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ tuy nhiên song

1. a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng như thế nào vuông góc với mặt đường thẳng này thì cũng vuông góc với mặt đường thẳng kia.

b) hai tuyến phố thẳng tách biệt cùng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng thì tuy nhiên song cùng với nhau.

2. a) mang đến hai phương diện phẳng song song. Đường thẳng như thế nào vuông góc với khía cạnh phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) nhì mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt đường thẳng thì song song cùng với nhau.

3. a) đến đường thẳng a cùng mặt phẳng (α) tuy nhiên song với nhau. Đường thẳng như thế nào vuông góc cùng với (α) thì cũng vuông góc với

b) ví như một đường thẳng với một phương diện phẳng (không cất đường thẳng đó) cùng vuông góc cùng với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

V. Phép chiếu vuông góc với định lí bố đường vuông góc

1. Định nghĩa.

 Cho con đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương d lên khía cạnh phẳng (α) được điện thoại tư vấn là phép chiếu vuông góc lên khía cạnh phẳng (α).

2. Định lí bố đường vuông góc. 

Cho đường thẳng a phía trong mặt phẳng (α) cùng b là đường thẳng không thuộc (α) đôi khi không vuông góc cùng với (α). Hotline b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Lúc đó a vuông góc cùng với b khi và chỉ còn khi a vuông góc với b’

3. Góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng

Cho con đường thẳng d với mặt phẳng (α). Ta bao gồm định nghĩa :

+ Nếu mặt đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa mặt đường thẳng d và mặt phẳng (α) bởi 90°.

+ Nếu đường thẳng d không vuông góc với khía cạnh phẳng (α) thì góc thân d cùng hình chiếu d’ của nó trên (à) được call là góc giữa mặt đường thẳng d với mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng ko vượt quá 90°.

B. Các dạng bài bác tập và phương pháp giải

Dạng 1 : Cách chứng minh đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng

1. Phương pháp giải

* Cách chứng tỏ đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng cực hay

Muốn chứng minh đương trực tiếp d ⊥ (α) ta rất có thể dùng môt trong hai biện pháp sau.

Cách 1. Minh chứng d vuông góc với hai đường thẳng a; b giảm nhau trong (α) .

*

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a cơ mà a vuông góc cùng với (α) .

*

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) cùng (Q) // (P).

* chứng minh hai con đường thẳng vuông góc

- Để minh chứng d ⊥ a, ta gồm thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

+ minh chứng d vuông góc với (P) cùng (P) chứa a.

+ áp dụng định lí bố đường vuông góc.

+ Sử dụng những cách chứng tỏ đã biết tại phần trước.

2. Bài xích tập gồm lời giải

Bài 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD chổ chính giữa O và bao gồm cạnh SA vuông góc với phương diện phẳng (ABCD). Gọi H, I vầK thứu tự là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

a) minh chứng BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) và BD ⊥ (SAC).

b) chứng minh SC ⊥ (ẠHK) với điểm I ở trong (AHK).

c) chứng tỏ HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.

Giải

*

a) BC ⊥ AB bởi vì đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC ⊥ SA bởi vì SA ⊥ (ABCD) cùng BC thuộc (ABCD).

Do đó BC ⊥ (SAB) bởi BC vuông góc với hai tuyến phố thẳng cắt nhau vào (SAB).

Lập luận giống như ta bao gồm CD ⊥ AD và CD ⊥ SA yêu cầu CD ⊥ (SAD).

Ta tất cả BD ⊥ AC do đáy ABCD là hình vuông và BD ⊥ SA buộc phải BD ⊥ (SAC). 

b) BC ⊥ (SAB) mà lại AH ⊂ (,SAB) buộc phải BC ⊥ AH và theo giả thiết SB ⊥ AH ta suy ra AH ⊥ (SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) buộc phải AH ⊥ SC.

Lập luận tương tự như ta chứng tỏ được AK ⊥ SC. Hai tuyến đường thẳng AH, AK cắt nhau và thuộc vuông góc với SC nên chúng bên trong mặt phẳng đi qua điểm A với vuông góc cùng với SC. Vậy SC ⊥ (AHK). Ta gồm AI ⊂ (.AHK) vì nó trải qua điểm A và cùng vuông góc với SC.

*

Hai tam giác vuông SAB với SAD đều bằng nhau vì chúng tất cả cạnh SA bình thường và AB AD (c.g.c). Vì vậy SB = SD, SH = SK buộc phải HK // BD.

Vì BD ⊥ (SAC) đề nghị HK (SAC) và bởi vì AI c= (SAC) đề nghị HK ⊥ AI.

Bài 2. Cho tứ diện hồ hết ABCD. Chứng tỏ các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc cùng nhau từng đôi một.

Giải

*

Giả sử ta cần minh chứng AB ⊥ CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta có :

*

Do đó AB ⊥ CD bởi CD nằm trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận tương tự như ta minh chứng được BC ⊥ AD và AC ⊥ BD.

Bài 3. Hình chóp S.ABCD bao gồm đáy là hình chữ nhật ABCD và có sát bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy. Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp đã cho là phần nhiều tam giác vuông.

Giải

SA ⊥ AB cùng SA ⊥ AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB cùng SAD là các tam giác vuông trên A.

*

Vậy tam giác SDC vuông tại D và tam giác SBC vuông trên B.

Chú thích. Muốn minh chứng tam giác SDC vuông tại D ta hoàn toàn có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc với lập luận như sau

Đường trực tiếp SD tất cả hình chiếu vuông góc xung quanh phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí cha đường vuông góc vì CD ⊥ AD yêu cầu CD ⊥ SD và ta có tam giác SDC vuông trên D.

Tương tự, ta chứng minh được CB ⊥ SB với ta gồm tam giác SBC vuông trên B.

Dạng 2: cách tính góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng

1. Cách thức giải

Để xác minh góc giữa con đường thẳng a cùng mặt phẳng (α) ta tiến hành theo quá trình sau:

*

+ bước 1: kiếm tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

+ cách 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

+ bước 3: Góc ∠AOA" = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

Lưu ý:

- Để dựng hình chiếu A’ của điểm A bên trên (α) ta lựa chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’ // b.

- Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OAA’.

2. Bài tập bao gồm lời giải

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC tất cả đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA với (ABC).

Xem thêm: Chia Số Có Bốn Chữ Số Cho Số Có Một Chữ Số, Giải Toán Lớp 3

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

Hướng dẫn giải

*

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

AH = bảo hành = CH = (1/2)BC = a/2

*

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với BC = a. Trên phố thẳng qua A vuông góc với (ABC) mang điểm S làm thế nào để cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa mặt đường thẳng SA và (ABC) .