Phương trình bậc 2 một ẩn là văn bản không mấy xa lạ, phương pháp giải phương trình bậc 2 và một trong những dạng toán cũng đã được giới thiệu với những em ở các lớp học trước.

Bạn đang xem: Bài tập giải phương trình bậc 2


Trong bài viết này chúng ta sẽ hệ thống lại một số dạng bài xích tập và giải pháp giải so với phương trình bậc 2 một ẩn như: Giải cùng biện luận phương trình bậc 2 (Giải phương trình bậc 2 đựng tham số m); xác minh tham số m nhằm phương trình bậc 2 gồm nghiệm thỏa điều kiện cho trước; Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai; Phương trình quy về phương trình bậc hai; Giải hệ phương trinh bậc 2 hai ẩn.

I. Lý thuyết về Phương trình bậc 2 (tóm tắt)

1. Giải với biện luận phương trình bậc 2

• Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*)

 Δ = b2 - 4ac

♦ Nếu Δ 0 ⇔ Tập nghiệm: 

*

2. Định lý Vi-ét

• giả dụ (*) có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

 

*
 và 
*

• cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

- nếu a + b + c = 0 

*

- ví như a - b + c = 0 

*

• trường hợp hai số x cùng y có S = x + y và phường = x.y thì x, y là nghiệm của phương trình bậc 2: t2 - St + p = 0.

II. Những dạng bài bác tập phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Giải cùng biện luận theo thông số m phương trình bậc 2 (PT bậc 2 cất tham số)

* Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0.

Cách giải: Xét các trường hợp quánh biệt:

 ◊ a + b + c = 0

 ◊ a - b + c = 0

 ◊ b = 2b" (hệ số b chẵn)

 ◊ Phương trình dạng x2 - Sx + p. = 0 (nhẩm nghiệm)

♦ Biện luận:

 ◊ Xét trường hòa hợp a = 0.

 ◊ lúc a ≠ 0, xét dấu tích ac với tính Δ = b2 - 4ac.

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

° lời giải ví dụ 1:

a) vày a + b + c = 

*
 nên nhẩm nghiệm ta thấy phương trình đã cho gồm 2 nghiệm: 
*

b) Ta có: 

*
*

⇒ Phương trình đang cho gồm 2 nghiệm 

*

c) Xét trường thích hợp m = 1: Phương trình sẽ cho tất cả nghiệm x = -1;

 Trường phù hợp m ≠ 1: Ta bao gồm a - b + c = 0 cần phương trình đã cho bao gồm 2 nghiệm:

 

*

* lấy ví dụ 2: Giải biện luận những phương trình sau:

a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.

b) 

° giải thuật ví dụ 2:

a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. (*)

• Trường vừa lòng m = -1: Phương trình (*) trở thành:

 -2x - 4 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của phương trình.

• Trường thích hợp m ≠ -1: Δ = m2 + 6m + 9 = (m+3)2

 ◊ m = - 3 thì Δ = 0: Phương trình bao gồm nghiệm kép:

*
*

 ◊ m ≠ - 3 thì Δ > 0: Phương trình tất cả 2 nghiệm phân biệt:

 

*
 
*

 b)  (*)

- Điều kiện x≠2 và x≠0.

- Quy đồng khử chủng loại ta được:

 (*) ⇔ mx2 - 3x + 2m = 0

• Trường hòa hợp m = 0: Phương trình trở thành: -3x = 0 ⇔ x = 0 (loại).

• Trường đúng theo m ≠ 0: Δ = 9 - 8m2

 ◊ Δ  phương trình vô nghiệm

 ◊ Δ = 0 ⇔ 

*
 Phương trình có nghiệm kép 
*

Với 

*
 (nhận)

Với 

*
 (nhận)

 ◊ Δ > 0 ⇔ 

*
: PT tất cả nghiệm kép 
*

 

*
: PT gồm nghiệp kép 
*

 m = 1: PT bao gồm nghiệp solo x = 2

 

*
 và 
*
 (1)

- Theo bài xích ra, Phương trình gồm một nghiệm gấp bố nghiệm kia, đề xuất không mất tính tổng quát khi đưa sử x2 = 3.x1, khi cầm vào (1) suy ra:

*
 
*

*
 
*

⇔ m2 + 2m + 1 = 4(3m-5)

⇔ m2 - 10m + 21 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = 7

◊ TH1: m = 3, PT (*) biến chuyển 3x2 – 8x + 4 = 0 tất cả hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn nhu cầu điều kiện.

◊ TH2: m = 7, PT (*) biến đổi 3x2 – 16x + 16 = 0 gồm hai nghiệm x1 = 4/3 cùng x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

- Kết luận: m = 3 thì pt tất cả hai nghiệm là 2/3 cùng 2; m = 7 thì pt tất cả hai nghiệm 4/3 với 4.

* Ví dụ 2: Cho phương trình: (m+1)x2 - 4m(m+1)x - m = 0. Tìm m để phương trình gồm nghiệm kép với tính nghiệm kép đó.

° giải thuật ví dụ 2: 

- Để phương trình bao gồm nghiệm kép thì:

 a = m+1 ≠ 0 và Δ" = 4m2(m+1)2 + m(m+1)=0

⇔ m≠-1 với m(m+1)(2m+1)2 = 0

Giải PT: m(m+1)(2m+1)2 = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2;

Đối chiếu điều kiện ta các loại nghiệm m = -1; dấn 2 nghiệm m = 0 và m =-1/2;

- với m = 0, ta gồm nghiệm kép là: 

*

- cùng với m = -1, ta có nghiệm kép là: x = -1.

* ví dụ như 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (*)

Xác định m để PT trên có hai nghiệm minh bạch mà nghiệm này bởi bình phương nghiệm kia.

° giải mã ví dụ 2: 

- Để PT gồm hai nghiệm sáng tỏ thì:

 Δ" = 1-m>0 ⇔ m 1, x2 là nghiệm của PT không mất tính bao quát khi giả sử 

*

- nhưng mà theo Vi-ét ta có: 

*
 
*
 (**)

- Giải PT (**) này ta được 2 nghiệm x2 = 1 và x2 = -2

- cố gắng x2 = 1 vào PT (*) ta được m = 1 (loại, vị không thỏa điều kiện m2 = -2 vào PT (*) ta được m = -8 (nhận)

- Kết luận: m = -8 thì PT x2 - 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Dạng 3: xác minh dấu những nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

- bao gồm 2 nghiệm x1 và x2 nếu:

• x1 2 ⇔ p

• x1 ≤ x2

• x1 ≥ x2 > 0 ⇔

*

* Ví dụ: Cho phương trình: (m2+1)x2 + 2(m2-1)x - (m2-1) = 0. Kiếm tìm m nhằm phương trình gồm hai nghiệm cùng dương.

° Lời giải

- yêu cầu bài bác toán thỏa mãn nhu cầu khi và chỉ còn khi:

 

*

*

7) Phương trình không dấu cực hiếm tuyệt đối

8) Phương trình chứa ẩn trong vết căn thức

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0 (*)

b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (**)

° Lời giải:

a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0 (*)

- Đặt t = (x - 1)(x + 5) = x2 + 4x - 5

 ⇒ x2 + 4x + 8 = x2 + 4x - 5 + 13 = t + 13

- Vậy (*) ⇔ t(t + 13) + 40 = 0

 ⇔ t2 + 13t + 40 = 0 

 ⇔ t = -5 hoặc t = -8;

• Với t = -5 ⇒ x2 + 4x - 5 = -5

 ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4.

• Với t = -8 ⇒ x2 + 4x - 5 = -8

⇔ x2 + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3.

- Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = -4; -3; -1; 0.

b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (**)

- vày x = 0 không phải là nghiệm đề xuất chia 2 vế cho x2≠0 ta được:

 (**) 

*

 Đặt , |t|≥2 ta được: t2 - 3t + 2 = 0

- Giải PT theo t (nhẩm nghiệm a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, vì chưng không thỏa điều kiện |t|≥2) với t = 2(nhận).

- với t = 2 ⇒ 

*

° Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc 2 chứa hai ẩn

* Phương pháp: 

• Hệ tất cả một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: Rút một ẩn sống pt bậc nhất, cố kỉnh vào pt bậc 2 ta được pt bậc 2 đựng 1 ẩn

• Hệ đối xứng (là hệ khi đổi vai trò thân x với y ta thấy các pt ko đổi): Đặt nhì ẩn phụ S = x + y và p = x.y. Tính S, phường suy ra x cùng y.

* ví dụ như 1: Giải hệ phương trình sau:

 

*
 (*)

° giải mã ví dụ 1:

- Ta có: 

 (*) 

*
 
*

- với y = 1 ta được x = 4;

- cùng với y=-7/4 ta được x = -17/4

- Kết luận: Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: (4;1) với (-17/4; -7/4).

* lấy ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

*
 (*)

° giải thuật ví dụ 2:

- Ta đặt: S = x + y và p. = x.y khi đó:

 (*) 

*
 

• Từ p + S = 5 ⇒ phường = 5 - S; thay phường vào P.S = 6 ta được:

 (5 - S)S = 6 ⇔ 5S - S2 = 6 ⇔ S2 - 5S + 6 = 0

 ⇔ S = 2 hoặc S = 3

- với S = 2 ⇒ p. = 3, x cùng y là nghiệm của phương trình:

 t2 - 2t + 3 = 0; Ta có 

*

• cả 2 nghiệm của f(x,m) ko thuộc (α; β) tức là:

 

*

+ Với 

*
 khi đó (*) tất cả một nghiệm x = 2 ∉ <-1,1>

+ với

*
 
*

- Kết luận: Vậy với -2 ≤ m ≤ 0 tì pt (*) tất cả nghiệm thuộc khoảng tầm <-1,1>.

Ngoài phương pháp dùng tam thức bậc 2 câu hỏi tìm điều kiện tham số m nhằm phương trình bậc 2 có nghiệm trong vòng cho trước có thể giải bằng phương thức sử dụng bảng đổi mới thiên.

lúc ấy chuyển hàm f(x,m) về dạng hàm g(x) = h(m). Đặt y = g(x) (có đồ gia dụng thị (C) là con đường thẳng hoặc mặt đường cong); với y = h(m) (có đồ thị (Δ) là đường thẳng nằm ngang). Như vậy, việc trên được đem đến dạng toán " tìm kiếm m nhằm (Δ) giảm (C) tại n điểm phân biệt". Lập bảng đổi thay thiên của hàm y = g(x) cùng từ BBT sẽ gửi ra tóm lại giá trị m đề nghị tìm.

* Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 4x + 3 + 4m = 0, (*)

- Tìm đk của m nhằm phương trình gồm nghiệm thuộc <-1,1>

° Lời giải:

- Ta có: (*) ⇔ x2 - 4x + 3 = -4m

- Đặt y = x2 - 4x + 3 (C) với y = -4m (Δ).

- Lập bảng biến chuyển thiên của hàm y = x2 - 4x + 3

 

*

- từ bảng vươn lên là thiên ta thấy để pt (*) có nghiệm trong tầm <-1;1> thì:

 0 ≤ -4m ≤ 8 ⇔ -2 ≤ m ≤ 0.

- Vậy -2 ≤ m ≤ 0 thì pt (*) có nghiệm phía trong khoảng <-1;1>.

Xem thêm: 11 Dạng Toán Hình Học Không Gian 11 : Có Lời Giải Chi Tiết, 38+ Tài Liệu Hình Học Không Gian 11 Hay Nhất

→ Đối với chương trình lớp 10 họ thường sử dụng các giải áp dụng tam thức bậc 2, giải pháp giải bằng bảng thay đổi thiên (hoặc đồ vật thị) thường xuyên ở lớp 12 những em mới sử dụng.