Đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng d được call là vuông góc với mặt phẳng (α) trường hợp d vuông góc với đa số đường thẳng nằm trong (α).

Bạn đang xem: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bài tập

Khi đó ta còn nói (α) vuông góc với d với kí hiệu d

*
(α) hoặc (α)
*
d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc cùng với (α).


III. TÍNH CHẤT

1. Tất cả duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm đến trước với vuông góc cùng với một mặt đường thẳng mang lại trước.

2. Có độc nhất vô nhị một mặt đường thẳng đi qua một điểm mang đến trước và vuông góc cùng với một mặt phẳng đến trước.

IV. SỰ LIÊN quan liêu GIỮA quan lại HỆ VUÔNG GÓC VÀ quan lại HỆ song SONG

1. a) Cho hai đường thẳng tuy vậy song. Khía cạnh phẳng như thế nào vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) hai tuyến phố thẳng phân minh cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song cùng với nhau.

2. a) mang lại hai mặt phẳng tuy vậy song. Đường thẳng làm sao vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với khía cạnh phẳng kia.

b) nhì mặt phẳng biệt lập cùng vuông góc với một con đường thẳng thì tuy nhiên song cùng với nhau.

3. a) mang đến đường thẳng a cùng mặt phẳng (α) song song cùng với nhau. Đường thẳng nào vuông góc cùng với (α) thì cũng vuông góc với

b) nếu như một đường thẳng với một khía cạnh phẳng (không đựng đường thẳng đó) thuộc vuông góc với một con đường thẳng không giống thì chúng tuy nhiên song cùng với nhau.

V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ ba ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. Mang lại đường thẳng d vuông góc với khía cạnh phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương d lên khía cạnh phẳng (α) được call là phép chiếu vuông góc lên khía cạnh phẳng (α).

2. Định lí ba đường vuông góc. Mang đến đường trực tiếp a bên trong mặt phẳng (α) cùng b là mặt đường thẳng ko thuộc (α) mặt khác không vuông góc với (α). Call b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc cùng với b khi còn chỉ khi a vuông góc với b’

3. Góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng

Cho mặt đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta gồm định nghĩa :

Nếu đường thẳng d vuông góc với khía cạnh phẳng (α) thì ta bảo rằng góc giữa con đường thẳng d và mặt phẳng (α) bởi 90°.Nếu đường thẳng d không vuông góc với khía cạnh phẳng (α) thì góc thân d với hình chiếu d’ của nó trên (à) được điện thoại tư vấn là góc giữa con đường thẳng d với mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng không vượt quá 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minh đưòng thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng

1. Phương thức giải

Muốn chứng tỏ đường thẳng a vuông góc với phương diện phẳng (α) bạn ta hay sử dụng một trong hai cách dưới đây :

Chứng minh mặt đường thẳng a vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau nằm trong (α).Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà lại b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình vuông ABCD trung khu O và bao gồm cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I vầK theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên những cạnh SB, SC với SD.

a) chứng tỏ BC

*
(SAB), CD
*
(SAD) cùng BD
*
(SAC).

b) chứng minh SC 

*
(ẠHK) và điểm I thuộc (AHK).

c) chứng tỏ HK

*
(SAC), từ đó suy ra HK
*
AI.

Giải

a) BC 

*
AB vì chưng đáy ABCD là hình vuông vắn (h.3.24)

BC 

*
SA bởi SA
*
(ABCD) với BC trực thuộc (ABCD).

Do đó BC

*
(SAB) vì BC vuông góc với hai tuyến đường thẳng giảm nhau vào (SAB).

Lập luận tựa như ta bao gồm CD

*
AD và CD
*
SA phải CD
*
(SAD).

Ta bao gồm BD

*
AC vì chưng đáy ABCD là hình vuông vắn và BD
*
SA bắt buộc BD
*
(SAC). 

b) BC

*
(SAB) mà AH ⊂ (,SAB) buộc phải BC
*
AH và theo trả thiết SB
*
AH ta suy ra AH
*
(SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) buộc phải AH 

*
SC.

Lập luận tựa như ta minh chứng được AK

*
SC. Hai đường thẳng AH, AK cắt nhau và thuộc vuông góc cùng với SC yêu cầu chúng nằm trong mặt phẳng trải qua điểm A cùng vuông góc cùng với SC. Vậy SC
*
(AHK). Ta bao gồm AI ⊂ (.AHK) vày nó đi qua điểm A và thuộc vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB với SAD cân nhau vì chúng có cạnh SA chung và AB AD (c.g.c). Cho nên vì thế SB = SD, SH = SK nên HK // BD.

Vì BD

*
(SAC) đề xuất HK (SAC) và vì chưng AI c= (SAC) bắt buộc HK
*
AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình thoi ABCD vai trung phong O và gồm SA = SC, SB = SD.

a) chứng minh so vuông góc với phương diện phẳng (ABCD).

b) điện thoại tư vấn I, K theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BA, BC.

Chứng minh rằng IK

*
(SBD) với IK
*
SD.

Giải

a) O là tâm hình thoi ABCD yêu cầu O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC gồm SA = SC buộc phải so

*
ÁC. Chứng minh giống như ta có SO
*
BD. Từ đó ta suy ra SO
*
(ABCD).

b) vì đáy ABCD là hình thoi phải AC

*
BD

Mặt khác ta có AC

*
SO. Cho nên vì vậy AC
*
(SBD). Ta bao gồm IK là con đường trung bình của tam giác BAC đề xuất IK // AC nhưng AC
*
(SBD) đề nghị IK
*
(SBD).

Ta lại sở hữu SD phía bên trong mặt phẳng (SBD) phải IK

*
SD.

Vấn đề 2

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh mặt đường thẳng nàỵ vuông góc với mặt phẳng đựng đường trực tiếp kia

1. Phương thức giảiMuốn chứng minh đường trực tiếp a vuông góc với đường thẳng b, ta tìm phương diện phẳng (β) chứa đường thẳng b sao để cho việc minh chứng a
*
(β) dễ thực hiện.Sử dụng định lí tía đường vuông góc.2. Ví dụ

Ví dụ 1. đến tứ diện những ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải

Giả sử ta cần minh chứng AB

*
CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta tất cả :

Do đó AB

*
CD bởi vì CD bên trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận giống như ta chứng minh được BC

*
AD với AC
*
BD.

Ví dụ 2. cho tứ diện OABC có cha cạnh OA, OB, OC song một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Minh chứng :

a) OA 

*
BC, OB 
*
CA cùng OC 
*
AB

b) H là trực trung khu của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

*
(OBC) ⇒ OA 
*
BC (h.3.27).

Tương tự ta chứng tỏ

OB

*
(OCA) ⇒ OB
*
CA

OC

*
(OAB) ⇒ OC
*
AB.b) vày OH 
*
(ABC) nên OH
*
BC với OA
*
BC

⇒ BC

*
(OAH) ⇒ BC
*
AH. (1)

Chứng minh giống như ta bao gồm AC

*
(OBH) ⇒ AC
*
BH. (2)Từ (1) với (2) ta suy ra H là trực chổ chính giữa của tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AH với Trong tam giác AOK vuông tại O, ta tất cả OH là đường cao. Phụ thuộc vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta có :

Vì BC vuông góc vói mặt phẳng (OAH) cần BC _L OK. Do đố vào tam giác OBC vuông trên o với mặt đường cao OK ta có :

Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD với có sát bên SA vuông góc với phương diện phẳng đáy. Chứng minh các mặt mặt của hình chóp đã đến là hầu hết tam giác vuông.

Giải

SA

*
AB cùng SA
*
AD (h.3.28).

Vậy những tam giác SAB với SAD là những tam giác vuông trên A.

Vậy tam giác SDC vuông trên D với tam giác SBC vuông trên B.

Chú thích. Muốn chứng minh tam giác SDC vuông tại D ta có thể áp dụng định lí tía đường vuông góc với lập luận như sau

Đường thẳng SD có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí bố đường vuông góc vì chưng CD

*
AD phải CD
*
SD với ta gồm tam giác SDC vuông trên D.

Tương tự, ta chứng tỏ được CB

*
SB và ta bao gồm tam giác SBC vuông trên B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn trực tiếp AB không vuông góc với phương diện phẳng (α) cắt mặt phẳng này trên trung điểm O của đoạn thẳng đó. Các đường trực tiếp vuông góc cùng với (α) qua A cùng B lần lượt cắt mặt phẳng (α) trên A’ và B’.

Chứng minh tía điểm A’, O, B’ thẳng hàng với AA’ = BB’.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17. Cho tam giác điện thoại tư vấn (α) là khía cạnh phẳng vuông góc với đường thẳng CA trên A với (β) là khía cạnh phẳng vuông góc với đường thẳng CB trên B. Chứng tỏ rằng nhị mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau với giao con đường d của chúng vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC).

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. Call H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với phương diện phẳng (ABC). Minh chứng rằng :

a )AA’

*
BC và lAA’
*
B’C’.

b) gọi MM’ là giao con đường của mặt phẳng (ẠHA’) với mặt mặt BCC’B’ trong các số đó M ∈ BC với M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật với MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC tất cả đáy ABC là tam giác vuông trên A và gồm canh mặt SA vuông góc với phương diện phẳng lòng là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Minh chứng rằng CD

*
CA và CD
*
(SCA).

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.20. Hai tam giác cân nặng ABC và DBC bên trong hai khía cạnh phẳng không giống nhau có chung cạnh đáy BC làm cho tứ diện call I là trung điểm của cạnh BC.

a) chứng tỏ BC

*
AD

b) call AH là đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói mặt phẳng (BCD).

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

Xem thêm: Bài Tập Về Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số, Chuyên Đề Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số

3.21. Chứng minh rằng tập hợp rất nhiều điểm phương pháp đều cha đỉnh của tam giác ABC là mặt đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng (ABC) tại trung ương O của mặt đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó.