Muốn giải được bài tập đạo hàm tốt thì trước tiên bạn phải coi lại phương pháp đạo hàm đã làm được học ở bài trước. Dựa vào lý thuyết đó bạn sẽ dễ dàng luyện được năng lực giải bài tập đạo hàm hiệu quả.

Bạn đang xem: Giải bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác

*

Bài tập đạo hàm gồm lời giải

Bài tập 1: Hãy tính đạo hàm cơ bạn dạng sau $y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1$

Giải

Sử dụng phương pháp đạo hàm ta có: $y’ = left( – x^3 + 3x + 1 ight)’ = 3x^2 – 6x + 2$

Bài tập 2: cho hàm số có chứa căn như sau $y = frac2x + 1x – 3$. Hãy tính đạo hàm

Giải

Vận dụng cách làm đạo hàm của hàm hợp: $y’ = frac(2x + 1)"(x – 3) – (x – 3)"(2x + 1)(x – 3)^2 = frac – 7(x – 3)^2$

Bài tập 3: cho một hàm số $f(x) = sqrt x^2 – x + 1 + sqrt x^2 + x + 1 $. Hãy tính đạo hàm

Giải

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm thích hợp ta giải như sauTa có: $f"(x) = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 + frac2x + 12sqrt x^2 + x + 1 $Suy ra $f"(x) = 0 Leftrightarrow left( 1 – 2x ight)sqrt x^2 + x + 1 = left( 1 + 2x ight)sqrt x^2 – x + 1 $$eginarrayl Leftrightarrow left{ eginarrayl (1 – 2x)(1 + 2x) ge 0\ (1 – 2x)^2left< left( x + frac12 ight)^2 + frac34 ight> = left( 1 + 2x ight)^2left< left( x – frac12 ight)^2 + frac34 ight> endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarrayl – frac12 le x le frac12\ (1 – 2x)^2 = (1 + 2x)^2 endarray ight. Leftrightarrow x = 0 endarray$

Bài tập 4: đến hàm số $y = sin ^23x$. Hãy tính đạo hàm

Giải

Đây là hàm con số giác phải ta áp dụng công thức đạo hàm của các chất giác suy ra

$y’ = 3sin 6x$

Bài tập 5: mang lại hàm số lượng giác $y = sqrt 3 an ^2x + cot 2x $. Hãy vận dụng công thức đạo các chất giác nhằm tính đạo hàm

Giải

Vận dụng cách làm đạo lượng chất giác cùng hàm hợp:

Ta có: $y’ = frac3 an x(1 + an ^2x) – (1 + cot ^22x)sqrt 3 an ^2x + cot 2x $

Bài tập đạo hàm phân theo dạng

Dạng 1: Tính đạo hàm bởi định nghĩa

Bài tập 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương xứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:

A. (Δx)2 + 2Δx


B. (Δx)2 + 4Δx

C. (Δx)2 + 2Δx – 3

D. 3

Giải

Đáp án: B

Δy = f(1 + Δx) – f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) – (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx

Đáp án B

Bài tập 2: Đạo hàm của những hàm số sau tại các điểm sẽ cho: f(x) = x2 + 1 trên x = 1?

A. 1/2

B. 1

C. 0

D. 2

Giải

*

Bài tập 3: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đang cho: f(x) = 2x3 + 1 trên x = 2?

A. 10

B. 24

C. 22

D. 42

Giải

Đáp án: B

Ta có

*

Vậy chọn lời giải là B

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức

Bài tập 4: Đạo hàm của hàm số y = (2x4 – 3x2 – 5x)(x2 – 7x) bằng biểu thức nào dưới đây?

A. (8x3 – 6x – 5)(2x – 7)

B. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) – (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)

C. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x)+(2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)

D. (8x3 – 6x – 5) + (2x – 7)

Giải

Đáp án: C

Áp dụng công thưc đạo hàm hàm hơp (uv)’= u’v + uv’ ta có:

y’ = (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) + (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)

Chọn giải đáp là C

Bài tập 5: Đạo hàm của hàm số f(t) = a3t4 – 2at2 + 3t – 5a bằng biểu thức làm sao sau đây?

A. 4a3t3 – 4at + 3

B. 3a2t4 – 2t2 – 5

C. 12a2t3 – 4at – 2

D. 4a3t3 – 4at – 5

Giải

Đáp án: A

f"(t) = 4a3t3 – 4at + 3

Chọn đáp án là A

Bài tập 6: Đạo hàm của hàm số f(x) = a3 – 3at2 – 5t3(với a là hằng số) bằng biểu thức làm sao sau đây?

A. 3a2 – 6at – 15t2

B. 3a2 – 3t2

C. -6at – 15t2

D. 3a2 – 3t2 – 6at – 15t2

Giải

Đáp án: C

f(t) = a3 – 3at2 – 5t3

f"(t) = -6at – 15t2

Chọn câu trả lời là C

Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 7: Đạo hàm của hàm số:

*
 bằng biểu thức như thế nào sau đây?

*

Giải

Đáp án: B

*

Đáp án B

Bài tập 8: Đạo hàm của hàm số:

*
 bằng biểu thức nào sau đây?

*

Giải

Đáp án: D

*

Bài tập 9: Đạo hàm của hàm số y = 6(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) bằng biểu thức như thế nào sau đây?

A. 24(sin3x + cos3x) – 24(sin5x + cos5x)

B. 24(sin3x – cos3x) – 24(sin5x + cos5x)

C. 2

D. 0

Giải

Đáp án: D

y’= 6(sin2x + cos2x)2 – 12sin2xcos2x – 4(sin2x + cos2x)2 + 12sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = 2

Dạng 4: Đạo hàm của hàm hợp

Bài tập 10. Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 5x+ 2)10.

A . 10( 5x+2)9 

B. 50( 5x+2)9 

C. 5( 5x+2)9 

D.(5x+2)9

Giải

Đạo hàm của hàm số đã đến là: y’=10.(5x+2)9.( 5x+2)’=50(5x+2)9

Chọn B.

Bài tập 11. Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 1- 3x2,)5 là:

A. -30x.(1-3x2 )4

B. -10x.(1-3x2 )4

C. 30(1-3x2 )4

D. -3x.(1-3x2 )4

Giải

Đặt u (x)= 1- 3×2 suy ra u (x)=( 1-3x2 )’=(1)’-3(x2 )’= -6x

Với u= 1-3×2 thì y= u5 suy ra y‘ (u)=5.u4=5.(1-3x2)4

Áp dụng phương pháp đạo hàm của hàm phù hợp ta có :

y‘ (x)= 5.(1-3x2 )4.(-6x)= -30x.(1-3x2 )4

Chọn A.

Bài tập 12. Tính đạo hàm của hàm số : y= ( x3+ x2 -1)2 ( 2x+1)2

A. Y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

B. Y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

C. Y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 4x+4)

D. Y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2-(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

Giải

áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp với đạo hàm của một tích ta gồm :

y’=<( x3+ x2-1) >2‘.(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.<(2x+1)2>’

Hay y’=2( x3+ x2-1)( x3+ x2-1)’.(2x+1)2+

(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).(2x+1)’

⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).2

⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

Dạng 5: Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình

Bài tập 13. Cho hàm số y= 2x3 – 6x2+ 2000. Phương trình y’= 0 gồm mấy nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

+ Ta gồm đạo hàm: y’=6x2-12x

+ Để y’=0 thì 6x2-12x=0

*

Vậy phương trình y’= 0 gồm hai nghiệm.

Chọn C.

Bài tập 14. Cho hàm số y= x4+ 2x3 – k.x2+ x- 10. Kiếm tìm k nhằm phương trình y’=1 bao gồm một nghiệm là x= 1?

A. K= 5

B. K= -5

C. K= 2

D. K= – 3

Giải

+ Ta tất cả đạo hàm: y’= 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1.

+ Để y’= 1 thì 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1 = 1

⇔ 4x3+ 6x2 – 2kx = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 đề xuất phương trình (*) tất cả một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0

⇔ k= 5.

Chọn A.

Bài tập 15. Cho hàm số y= 2mx – mx3. Với đông đảo giá trị nào của m nhằm x= -1 là nghiệm của bất phương trình y" – 1

B. M 2

Bất phương trình y’ 2 2 - 1.

Chọn A.

Dạng 6: Tính đạo hàm tại 1 điểm

Bài tập 16. Cho hàm số y= x3+ 2x2 – 2x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1

A. 5

B. – 2

C. 7

D. 10

Giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x2 +4x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=1 là y’ ( 1)= 3. 12+ 4.1- 2= 5

Chọn A.

Bài tập 17. Cho hàm số y= 16√x+2x- x2. Tính đạo hàm của hàm số trên x= 4.

A. – 1

B. – 2

C. 0

D. 2

Giải

Tại những điểm x > 0 thì hàm số đang cho có đạo hàm và y’= 8/√x+2-2x

⇒ Đạo hàm của hàm số đã mang lại tại x= 4 là : y’ ( 4)= 8/√4+2-2.4= -2

Chọn B.

Bài tập 18. Cho hàm số y= ( 2x+ x2)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 1?

A. 0

B. 2

C. – 2

D .4

Giải

Hàm số vẫn cho xác định với rất nhiều x.

Đạo hàm của hàm số đã mang lại là:

y’=2( 2x+ x2 )( 2x+ x2 )’ = 2( 2x+ x2 )( 2+2x)

⇒Đạo hàm của hàm số tại x= -1 là y’( – 1) = 0.

Chọn A.

Dạng 7: Đạo hàm và câu hỏi giải phương trình, bất phương trình lượng giác

Bài tập 19. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Search nghiệm của phương trình y’=0

*

Giải

*

Bài tập 20. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0

*

Giải

*

Bài tập 21. Cho hàm số y=x3+ 3x+ sin3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0

*

Giải

Ta tất cả đạo hàm: y’=3x2+ 3+ 3sin2x. Cosx

Với các x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin2 x.cosx ≥ – 3.sin2 x

⇒ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3- 3.sin2 x ⇔ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3.cos2x ( 1)

Lại bao gồm 3x2 ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) và ( 2) vế cùng vế ta có:

y’=3x2+ 3+ 3sin2x. Cosx ≥3x2+3cos2 x ≥0 với đa số x.

Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0

Chọn C.

Xem thêm: Xem Sách Giáo Khoa Toán Lớp 4, Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 1, Tập 2 Hay Nhất

Hy vọng với những bài bác tập đạo hàm trên vẫn hữu ích cho những bạn. đầy đủ góp ý cùng thắc mắc chúng ta vui lòng để lại comment dưới bài viết để fkhorizont-turnovo.com ghi nhận và hỗ trợ.