Giải bài tập bài 1,2,3,4,5,6 trang 18 SGK (Sách giáo khoa) giải tích lớp 12 – bài tập rất trị hàm số- Chương 1: áp dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ dùng thị của hàm số.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 trang 18

A. Giải bài tập Sách giáo khoa

Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau :

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 ; b) y = x 4+ 2x2 – 3 ;

c) y = x + 1/x ; d) y = x3(1 – x)2 ;

e)

*

Đáp án: a) y’ = 6x2 + 6x -36 =6 (x2 + x – 6);

y’= 0 ⇔ x2 + x – 6= 0 ⇔ x=2; x=-3Bảng thay đổi thiên :

*

Hàm số đạt cực to tại x = -3 , ycđ = y(-3) = 71

Hàm số đạt cực tiểu trên x = 2 , y(ct)=y(2) =- 54

b) y’ = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1); y’ = 0 ⇔ x = 0.

Bảng trở nên thiên :

*

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , y(ct)=y(0) =- 3.

c) Tập khẳng định : D =R

*

Bảng trở nên thiên : 

*

Hàm số đạt cực to tại x = -1 , ycđ = y(-1) = -2 ;

Hàm số đạt rất tiểu trên x = 1 , yct = y(1) = 2.

d) Tập xác minh : D = R.

y’ = 3x2(1 – x)2 + x3 . 2(1 – x)(-1) = x2 (1 – x)<3(1 – x) – 2x> = x2 (x – 1)(5x – 3) . Y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 3/5, x = 1.

Bảng thay đổi thiên : 

*

Hàm số đạt cực đại tại x = 3/5, ycđ =y(3/5) = 108/3125 ;

Hàm số đạt rất tiểu trên x = 1 , yct = y(1) = 0 .

e) Tập khẳng định : D = R.

*

Bảng trở nên thiên :

*
Hàm số đạt cực tiểu trên x=1/2; y = √3/2


Quảng cáo


Bài 2. Áp dụng phép tắc II, hãy tìm các điểm rất trị của hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 1 ; b) y = sin2x – x ;

c)y = sinx + cosx ; d) y = x5 – x3 – 2x + 1.

Đáp án : ) y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) ; y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = ±1.

y” = 12x2 – 4 . Y”(0) = -4 cđ = y(0) = 1. Y”(±1) = 8 > 0 đề nghị hàm số đạt cực tiểu tại x =± 1, yct = y(±1) = 0.

b) y’ = 2cos2x – 1 ;

*

y” = -4sin2x .

*
yêu cầu hàm số đạt cực to tại các điểm x = π/6+ kπ, ycđ = sin(π/3+ k2π) – π/6 – kπ = √3/2 – π/6- kπ , k ∈ Z.

*

nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = -π/6+ kπ, yct = sin( -π/3+ k2π) + π/6 – kπ = -√3/2 + π/6 – kπ , k ∈ Z.

c) y = sinx + cosx = √2 sin(x+π/4);

y’ = √2cos (x+π/4) ;

*

*
*
*

Do kia hàm số đạt cực đại tại các điểm x= π/4 +k2π, đạt rất tiểu tại các điểm

*

d) y’ = 5x4 – 3x2 – 2 = (x2 – 1)(5x2 + 2) ; y’ = 0 ⇔ x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.

y” = 20x3 – 6x.


Quảng cáo


y”(1) = 14 > 0 đề xuất hàm số đạt rất tiểu tại x = 1, yct = y(1) = -1.

y”(-1) = -14 cđ = y(-1) = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số y = √|x| không gồm đạo hàm tại x = 0 cơ mà vẫn đạt cực tiểu trên điểm đó.

Đặt y =f(x) = √|x|. Mang sử x > 0, ta tất cả :

*

Do kia hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 0 . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu trên x = 0 bởi f(x) = √|x| ≥ 0 =f(0) ∀x ∈ R

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của thông số m, hàm số y = x3 – mx2 – 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực to và một điểm cực tiểu.

y’ = 3x2 – 2mx – 2 , ∆’ = m2  + 6 > 0 đề nghị y’ = 0 gồm hai nghiệm phân biệt và y’ đổi lốt khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một rất tiểu.

Bài 5. Tìm a với b để những cực trị của hàm số y = 5/3a2x3 + 2ax2 – 9x + b hầu như là phần nhiều số dương và x0= -5/9 là điểm cực đại.

– Xét a = 0 hàm số biến hóa y = -9x + b. Trường hòa hợp này hàm số không tồn tại cực trị.

Xem thêm: Bài Giảng Hệ Tọa Độ Trong Không Gian, Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

– Xét a # 0. Ta tất cả : y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 ; y’= 0 ⇔ x=-1/α hoặc x= -9/5α

– với a 0= -5/9 là điểm cực to nên 1/α = -5/9 ⇔α =9/5. Theo yêu thương cầu câu hỏi thì

*

– cùng với a > 0 ta tất cả bảng phát triển thành thiên :

*

Vì x0= -5/9 là điểm cực to nên

*
. Theo yêu thương cầu câu hỏi thì:
*

Vậy các giá trị a, b đề xuất tìm là:

*

Bài 6. Khẳng định giá trị của tham số m để hàm số  đạt cực to tại x = 2.

Giải: Tập khẳng định : D =R -m

*

Nếu hàm số đạt cực lớn tại x = 2 thì y"(2) = 0 ⇔ m2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3