Nội dung bài bác học sẽ giúp đỡ các em chũm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai tuyến phố thẳng trong không khí và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong khi là những ví dụ minh họa để giúp các em có mặt các năng lực giải bài bác tập tương quan đến tính góc, minh chứng hai con đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Bạn đang xem: Hai đường thẳng vuông góc lớp 11


1. Cầm tắt lý thuyết

1.1.Góc giữa haivectơ

1.2. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1.4. Góc giữa hai tuyến phố thẳng

1.5. Hai tuyến phố thẳng vuông góc

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 2 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai con đường thẳng vuông góc

3.2 bài tập SGK và cải thiện vềHai đường thẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 hình học tập 11


*

Cho (vec u)và (vec v)là hai vectơ trong ko gian. Xuất phát điểm từ một điểm A bất kể vẽ (overrightarrow AB = overrightarrow u ,overrightarrow AC = overrightarrow v). Lúc đó ta call góc (widehat BAC(0 le widehat BAC le 180^0))là góc thân hai vecto vectơ (vec u)và(vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v ight )). Ta có:(left ( vec u ;vec v ight )=widehat BAC).

*


a) Định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ(vec u)và(vec v)đều khác vectơ-không là một số trong những được kí hiệu là (vec u .vec v)xác dịnh bởi:

(overrightarrow u .overrightarrow v = left| overrightarrow u ight|.left| overrightarrow v ight|.c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))

Nếu (vec u= vec0)hoặc (vec v= vec0)thì ta quy ước(vec u.vec v=0.)

b) Tính chấttích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ(overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c)trong không gian và với đa số số k ta có:

(overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a)(tính chất giao hoán).(overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c)(tính hóa học phân phối).((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)(overrightarrow a ^2 ge 0,overrightarrow a ^2 = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ(vec u)và(vec v)bằng (c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))theo công thức:(c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ) = fracoverrightarrow u .overrightarrow v overrightarrow u ight).


1.3. Vectơ chỉ phương của con đường thẳng


Vectơ (overrightarrow a e overrightarrow 0)được call là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng d trường hợp giá của vectơ(overrightarrow a)song song hoặc trùng với mặt đường thẳng d.

*

Nếu (overrightarrow a)là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a)với (k e 0)cũng là một trong vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong ko gian hoàn toàn xác định được giả dụ biết một điểm A ở trong d với một vectơ chỉ phương (overrightarrow a)của d.


1.4. Góc giữa hai đường thẳng


Góc giữa hai tuyến phố thẳng a với b trong không khí là góc giữa hai tuyến phố thẳng a’ với b’ thuộc đi sang 1 điểm bất kỳ lần lượt tuy nhiên song với a và b.

*


1.5. Hai tuyến phố thẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai con đường thẳng a cùng b call là vuông góc cùng với nhau nếu như góc giữa chúng bằng 900. Ta kí hiệu là:(b ot a)hoặc(a ot b.)

b) Tính chấtNếu(vec u)và(vec v)lần lượt là những vectơ chỉ phương của hai tuyến đường thẳng a và b thì:(a ot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)Cho hai đường thẳng tuy nhiên song. Nếu như một con đường thẳng vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.Hai mặt đường thẳng vuông góc nhau thì rất có thể cắt nhau hoặc chéo cánh nhau.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác minh góc giữa những cặp vectơ sau đây:

a)(overrightarrow AB ,overrightarrow EG .)

c)(overrightarrow AB ,overrightarrow DH).

Hướng dẫn giải:

*

a) vì EG // AC đề nghị góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow EG)cũng bằng góc giữa(overrightarrow AB)và(overrightarrow AC)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow EG ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow AC ight) = 45^0.)

b) vị AB // DG nên góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow DH)cũng bởi góc giữa(overrightarrow DC)và(overrightarrow DH)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = 45^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC bao gồm SA = SB =SC và có (widehat mASB = widehat BSC = widehat CSA.)

Chứng minh rằng:(SA ot BC, SBot AC, SC ot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét những tích vô hướng:(overrightarrow SA .overrightarrow BC ,overrightarrow SB .overrightarrow AC ,overrightarrow SC .overrightarrow AB .)

Ta có:

(eginarrayl overrightarrow SA .overrightarrow BC = overrightarrow SA .(overrightarrow SC - overrightarrow SB ) = overrightarrow SA .overrightarrow SC - overrightarrow SA .overrightarrow SB \ = left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SC ight|.c moswidehat mCSA - left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SB ight|c moswidehat mASB endarray)

Theo giá chỉ thuyết:(left| overrightarrow SB ight| = left| overrightarrow SC ight|)

Và:(c moswidehat mCSA = c moswidehat mASB Rightarrow overrightarrow SA .overrightarrow BC = 0)

Vậy:(SA ot BC.)

Chứng minh tương tự như ta có:(SBot AC, SC ot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB⊥AC với AB⊥BD. Gọi phường và Q theo thứ tự là trung điểm của AB cùng CD. Minh chứng rằng AB cùng PQ là hai tuyến phố thẳng vuông góc cùng với nhau.

Lời giải:

*

Ta có: (overrightarrow PQ = overrightarrow PA + overrightarrow AC + overrightarrow CQ)

Và: (overrightarrow PQ = overrightarrow PB + overrightarrow BD + overrightarrow DQ)

Do đó: (2overrightarrow PQ = overrightarrow AC + overrightarrow BD)

Vậy:(2.overrightarrow PQ .overrightarrow AB = left( overrightarrow AC + overrightarrow BD ight).overrightarrow AB = overrightarrow AC .overrightarrow AB + overrightarrow BD .overrightarrow AB = 0)

Hay (overrightarrow PQ .overrightarrow AB = 0)Tức là: (PQ ot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD gồm AB=AC=AD=a, (widehat BAC = widehat BAD = 60^0.).

a) chứng tỏ rằng AB vuông góc CD.

b) nếu I, J thứu tự là trung điểm của AB cùng CD thì (AB ot IJ.)

Hướng dẫn giải:

*

a) Ta có:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AB left( overrightarrow AD - overrightarrow AC ight) = overrightarrow AB .overrightarrow AD - overrightarrow AB .overrightarrow AC \ = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC endarray)

Mặt không giống ta có:(AB = AC = AD,widehat BAC = widehat BAD)

Nên:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc cùng với CD.

b)) vì I, J là trung điểm của AB cùng CD bắt buộc ta có:(overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AD + overrightarrow BC ight))

Do đó:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BC ight) = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BA + overrightarrow AB .overrightarrow AC ight)\ = frac12left( cos 60^0 - overrightarrow AB ^2 + left ight)\ = frac12left( frac12a^2 - a^2 + frac12a^2 ight) = 0 endarray)

Vậy AB cùng IJ vuông góc nhau.


Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng nếu(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB )thì(AB ot CD,AC ot BD,AD ot BC). Điều ngược lại có đúng không?

Sau đó là lời giải:

Bước 1:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD Leftrightarrow overrightarrow AC left( overrightarrow AB - overrightarrow AD ight) = 0)

( Leftrightarrow overrightarrow AC .overrightarrow DB = 0 Leftrightarrow AC ot BD)

Bước 2: minh chứng tương tự, từ(overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AD ot BC)

và(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AB ot CD)

Bước 3: ngược lại đúng, vì chưng quá trình minh chứng ở bước 1 cùng 2 là thừa trình biến đổi tương đương.

Bài giải bên trên đúng giỏi sai, nếu sai thì không đúng ở đâu?


Bên cạnh đó những em rất có thể xem phần lý giải Giải bài bác tập Hình học tập 11 bài bác 2sẽ giúp những em nỗ lực được các phương thức giải bài bác tập tự SGKhình học 11Cơ bản và Nâng cao.

Xem thêm: Phép Cộng Các Số Trong Phạm Vi 100 000, Giải Toán Lớp 3 Phép Trừ Các Số Trong Phạm Vi 100

bài tập 1 trang 97 SGK Hình học 11

bài tập 2 trang 97 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 3 trang 97 SGK Hình học 11

bài xích tập 4 trang 98 SGK Hình học 11

bài xích tập 5 trang 98 SGK Hình học 11

bài xích tập 6 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 7 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 8 trang 98 SGK Hình học 11

bài tập 3.8 trang 138 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

bài tập 3.10 trang 138 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.11 trang 139 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.12 trang 139 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.13 trang 139 SBT Hình học 11

bài xích tập 3.14 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài tập 3.15 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 7 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 8 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 9 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 10 trang 96 SGK Hình học 11 NC

bài xích tập 11 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC


4. Hỏi đáp về bài xích 2 chương 3 hình học tập 11


Nếu có thắc mắc cần giải đáp những em có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 đang sớm vấn đáp cho các em.