Hàm số lũy quá là các hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Các hàm số lũy thừa gồm tập xác định khác nhau, phụ thuộc vào (alpha): 

- nếu (alpha) nguyên dương thì tập những định là (R).

Bạn đang xem: Hàm số lũy thừa lớp 12

- nếu (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) không nguyên thì tập các định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập khẳng định là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác định (R), trong khi đó những hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều bao gồm tập xác định ((0; +∞)). Vày vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( hay (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là hồ hết hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai đông đảo (x ∈ (0; +∞)) và (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- trường hợp hàm số (u=u(x)) nhận giá trị dương và gồm đạo hàm trong khoảng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng tất cả đạo hàm trên (J) cùng " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số nón nguyên dương

Trong trường hợp số nón nguyên dương, hàm số lũy vượt (y=x^n) có tập xác minh là (R) và bao gồm đạo hàm trên toàn trục số. Cách làm tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) có đạo hàm trong tầm (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm

Nếu số nón là số nguyên âm thì hàm số lũy quá (y=x^n) bao gồm tập xác định là (Rackslash left 0 ight\) và tất cả đạo hàm tại những (x) không giống (0), bí quyết đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) gồm đạo hàm trong vòng (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể xem là mở rộng của hàm lũy quá (y = x^frac1n) (tập xác minh của (y = sqrtx) chứa tập xác định của (y = x^frac1n) và bên trên tập xác minh của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) gồm tập xác minh (R). Trên khoảng chừng ((0; +∞) ) ta có (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), cho nên vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với tất cả (x) khiến cho hai vế tất cả nghĩa.

Xem thêm: Kiến Thức Trọng Tâm Bài Học: Toán Lớp 3 Đặt Tính Rồi Tính Lớp 3 Luyện Tập Chung

Sử dụng phép tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: nếu (u=u(x)) là hàm có đạo hàm trên khoảng tầm (J) và thỏa mãn điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) khi (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng tầm ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi điều tra khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) ráng thể, buộc phải xét hàm số bên trên toàn tập xác minh của nó (chứ chưa hẳn chỉ xét trên khoảng tầm ((0; +∞)) như trên).