Trong chương trình lớp 9, phương trình hàng đầu 2 ẩn có 2 phương pháp để giải, đó là phương thức cộng đại số và cách thức thế, có sự khác hoàn toàn nào về ưu điểm yếu kém của 2 cách thức này.

Bạn đang xem: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn lớp 9


Trong nội dung bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu 2 giải pháp giải trên đối với phương trình số 1 2 ẩn. Giải các bài tập về hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn với từng phương pháp cộng đại số và phương thức thế, đồng thời khám phá các dạng toán về phương trình hàng đầu 2 ẩn, từ đó nhằm thấy ưu điểm của mỗi phương pháp và vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán nạm thể.

I. Tóm tắt kim chỉ nan về phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Phương trình hàng đầu 2 ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c cùng với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn bao gồm vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được màn biểu diễn bởi con đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì mặt đường thẳng (d) là trang bị thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c xuất xắc x = c/a và con đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình biến chuyển by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ nhị phương trình số 1 hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

*
 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ nhì phương trình số 1 hai ẩn

- điện thoại tư vấn (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, lúc ấy ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) cắt (d’) thì hệ bao gồm nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ nhị phương trình tương tự với nhau nếu như chúng có cùng tập nghiệm

II. Giải pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương thức cộng đại số

a) Quy tắc cùng đại số

- Quy tắc cộng đại số cần sử dụng để đổi khác một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm nhì bước:

- bước 1: cộng hay trừ từng vế nhị phương trình của hệ phương trình đã mang lại để được một phương trình mới.

- bước 2: dùng phương trình bắt đầu ấy sửa chữa cho một trong những hai phương trình của hệ (và không thay đổi phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- bước 1: Nhân các vế của nhì phương trình với số thích hợp (nếu cần) làm sao cho các thông số của một ẩn nào kia trong nhì phương trình của hệ cân nhau hoặc đối nhau.

- cách 2: sử dụng quy tắc cùng đại số và để được hệ phương trình mới, trong các số đó có một phương trình mà hệ số của 1 trong những hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

- cách 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải các hệ PT số 1 2 ẩn khuất phía sau bằng PP cùng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc cầm dùng để thay đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao hàm hai cách sau:

- bước 1: từ 1 phương trình của hệ đã mang đến (coi là phương trình thức nhất), ta màn trình diễn một ẩn theo ẩn kia rồi chũm vào phương trình thức hai sẽ được một phương trình new (chỉ còn một ẩn).

- cách 2: cần sử dụng phương trình new ấy để sửa chữa cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức độc nhất vô nhị cũng hay được sửa chữa thay thế bởi hệ thức màn biểu diễn một ẩn theo ẩn kia đã có được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng cách thức thế

- bước 1: cần sử dụng quy tắc ráng để biến hóa phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong các số đó có một phương trình một ẩn.

- bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ vẫn cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một số trong những dạng toán phương trình bậc nhất 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

* Phương pháp: coi phần tóm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài bác 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm tốt nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)

* dìm xét: Qua bài bác 12 này, những em thấy phương thức thế đang sử dụng thuận tiện hơn khi một trong các phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là 1 trong những hoặc -1. Khi đó chỉ cần rút x hoặc y ở phương trình bao gồm hệ số là 1 hoặc -1 này và gắng vào phương trình còn sót lại để giải hệ.

- Đối với những hệ PT trình mà không có hệ số như thế nào của x cùng y là một trong những hoặc -1 thì việc sử dụng phương thức thế làm phát sinh các phân số và bài toán cộng trừ dễ làm ta không nên sót hơn hẳn như bài 13 bên dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm duy nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất vô nhị (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số

* Phương pháp: xem phần nắm tắt lý thuyết

Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bởi PP cộng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* giải mã bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: lấy PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: đem PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tuyệt nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) cùng với 2 để thông số của x ở cả hai PT bởi nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm duy nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 3, 2 vế PT(2) với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm duy nhất (5;3)

* nhấn xét: lúc không có bất kỳ hệ số nào của x, y là 1 trong những hay -1 thì cách thức cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn rộng trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách thức đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- bước 2: Đặt ẩn phụ và đk của ẩn phụ

- bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ vẫn đặt (sử dụng pp cầm cố hoặc pp cộng đại số)

- bước 4: trở về ẩn ban sơ để tra cứu nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số không giống 0).

 Đặt: 

*
 ta tất cả hệ lúc đầu trở thành:

 

*

- trở lại ẩn lúc đầu x với y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm tốt nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 với y ≠ 3 (mẫu số không giống 0)

 Đặt: 

*
 ta gồm hệ ban sơ trở thành:

*

 Trở lại ẩn thuở đầu x và y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, yêu cầu hệ có nghiệm tốt nhất (-5/4;6)

Dạng 4: xác minh tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm đó là nghiệm của hệ được tạo bởi vì 2 phương trình con đường thẳng sẽ cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 cùng d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 với d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng một trong những 2 phương thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 cùng d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: Bạn Đã Hiểu Đố Cửa Là Gì - Tìm Hiểu Về Đố Cửa, Kích Thước, Cách Chia Đố Cửa

Dạng 5: Giải cùng biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ từ một phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương thức thế) rồi cố gắng vào phương trình sót lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện công việc biện luận như sau:

- nếu như a ≠ 0, thì x = b/a; cố kỉnh vào biểu thức để tìm y; hệ bao gồm nghiệm duy nhất.

- nếu như a = 0, ta có, 0.x = b:

_ nếu như b = 0 thì hệ có vô vàn nghiệm

_ nếu như b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- trường đoản cú PT(1) ta có: y = mx - 2m, thay vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* giả dụ m ≠ ±1, ta có: 

*

lúc đó: 

*

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất: 

* nếu như m = -1, ráng vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* ví như m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)