Định lý Viet là một trong những kiến thức đặc biệt của lịch trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên mở ra trong các kì thi học viên giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì chưng vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến chúng ta đọc một vài ứng dụng quan trọng đặc biệt của định lý này. Bài viết vừa tổng phù hợp thuyết, vừa gửi ra các ví dụ rõ ràng, cụ thể giúp các bạn nắm vững vàng và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng tìm hiểu nhé:

I. Định lý Viet - định hướng quan trọng.

Bạn đang xem: Hệ thức vi ét và ứng dụng

Định lý Viet tốt hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình nhiều thức vì nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.

1. Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) bao gồm 2 nghiệm x1 với x2. Lúc đó 2 nghiệm này thỏa mãn nhu cầu hệ thức sau:

*

Hệ quả: phụ thuộc hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn gồm nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp quánh biệt:

Nếu a+b+c=0 thì (*) có một nghiệm x1=1 với x2=c/aNếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 cùng x2=-c/a

2. Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 vừa lòng hệ thức:

*

thì x1 với x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0 hay nói bí quyết khác, đấy là điều kiện nhằm phương trình bậc 2 trường tồn nghiệm.

Đăng ký Học tức thì Toán thầy mạnh mẽ lớp 10

II. Các dạng bài xích tập vận dụng định lý Viet.

1. Ứng dụng hệ thức Viet tìm nhị số lúc biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

*

thì u, v đã là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.

Như vậy, việc khẳng định hai số u, v sẽ trở lại bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.Nếu S2-4P

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật bao gồm chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài với chiều rộng lớn của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

*

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình bên trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật gồm chiều lâu năm 2a, chiều rộng là a.

Ví dụ 2: Tìm nhì số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

*

Hướng dẫn:

Ta cần đổi khác hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc thuộc:

*

Trường vừa lòng 1:

*

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm kiếm được x1=3, x2=2

Trường phù hợp 2:

*

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải kiếm được x1=-2, x2=-3.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

*

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, giả dụ quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tra cứu ra lý thuyết khi nghỉ ngơi dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài xích toán dễ dàng và đơn giản hơn.

Ta đặt:

*

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

*

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình bên trên được:

*

Trường đúng theo 1: u=3, v=2. Khi đó ta chiếm được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)Trường thích hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta nhận được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn đk x≠-1)

2. Áp dụng định lý Viet tính quý hiếm biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng cùng với x1, x2 trường hợp ta đổi vị trí x1, x2 lẫn nhau thì cực hiếm biểu thức không nuốm đổi:

*

Nếu f là 1 trong những biểu thức đối xứng, nó luôn luôn tồn trên cách màn biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2Một số biểu diễn quen thuộc:

*

Áp dụng hệ thức Viet, ta tính giá tốt trị biểu thức buộc phải tìm.

Ví dụ 4: cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) vĩnh cửu 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

*

Hãy chứng minh:

*

Hướng dẫn:

*

Ví dụ 5: cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính quý giá của:

*

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta đổi thay đổi:

*

Lại có:

*

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta rất có thể ứng dụng ví dụ 4 nhằm tính vào trường đúng theo này, chú ý:

*

Ta có: S=S7.

Vậy ta tính thứu tự S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ đạt được giá trị của S7.

3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, đk tiên quyết là buộc phải xét ngôi trường hợp để phương trình sống thọ nghiệm. Tiếp nối áp dụng định lý Viet đến phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết phù hợp với dữ khiếu nại đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

Có đúng 1 nghiệm âm.Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

*

Đặc biệt, bởi ở hệ số a bao gồm chứa tham số, do vậy ta đề xuất xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Xem thêm: Giải Toán 12: Bài 6 Trang 68 Sgk Hình Học 12 : Bài 6 Trang 68 Sgk Hình Học 12

Trường thích hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, đk là:

*

Ví dụ 6: Tìm toàn bộ giá trị m thỏa mãn nhu cầu phương trình bậc 2 sau:

*

tồn tại nghiệm x1, x2 sáng tỏ sao cho:

*

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình trường tồn 2 nghiệm phân biệt:

*

Khi đó phụ thuộc vào hệ thức Viet:

*

Hai nghiệm phân biệt này yêu cầu khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

*
(2)

Mặt khác, theo đề:

*

Trường đúng theo 1:

*

Trường đúng theo 2:

*

Kết hợp với 2 đk (1) cùng (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đó là tổng vừa lòng của con kiến Guru về định lý Viet. Hi vọng thông qua bài bác viết, các bạn sẽ tự củng cầm cố và tập luyện thêm tư duy giải toán của phiên bản thân. Mỗi việc sẽ có nhiều cách tiếp cận không giống nhau, bởi vì vậy, hãy trường đoản cú do vận dụng một cách sáng chế những gì bàn sinh hoạt được nhé, điều ấy sẽ cung ứng cho các bạn sau này rất nhiều. Quanh đó ra, chúng ta có thể tham khảo thêm các nội dung bài viết khác bên trên trang của con kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức và kỹ năng của mình. Chúc chúng ta học tập hiệu quả!