Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kiến thức cơ sở cho các bài học tập về nhân chia đơn thức, đa thức quan trọng đặc biệt trong các biểu thức phân số bao gồm chứa đổi thay trong lịch trình toán 8 và cả các lớp sau này.

Bạn đang xem: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức


Chính vày vậy, mà việc nắm vững những cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung, team hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là điều rất bắt buộc thiết. Bài viết dưới đây đang tổng vừa lòng các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử và áp dụng giải những dạng bài tập này.

I. Các cách thức phân tích đa thức thành nhân tử

Bạn đã xem: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài bác tập áp dụng – Toán lớp 8


1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

– Tìm nhân tử thông thường là những đối kháng thức, nhiều thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

– phân tích mỗi hạng tử thành tựu của nhân tử tầm thường và một nhân tử khác.

– Viết nhân tử chung ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn sót lại của từng hạng tử vào trong vệt ngoặc (và cả vệt của chúng).

 * Ví dụ. đối chiếu các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 – 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 – x + 2)

 b) 28x2y2 – 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy – 3y + 2x)

2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với cách thức dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

– chuyển đổi đa thức các bạn đầu về dạng không còn xa lạ của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

– Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức xứng đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3– 3A2B+ 3AB2– B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2– AB +B2)

 ♦ A3– B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm những hạng tử

* Phương pháp:

– phối kết hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.

– Áp dụng liên tiếp các cách thức đặt nhân tử phổ biến hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 – 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm sút 1 hạng tử hoặc tách hạng tử để phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp:

– vận dụng thêm sút hạng tử linh hoạt để mang về team hạng tử bình thường hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 – 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2+2)2 – 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 – 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – 2x2 = (x2+1)2 – 2x2 = (x2+1)2 – (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 – 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối thích hợp nhiều cách thức để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các cách thức trên theo sản phẩm công nghệ tự ưu tiên.

– cách thức đặt nhân tử chung.

– phương pháp dùng hằng đẳng thức.

– phương thức nhóm những hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 – 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

= 2((x2 + 2x +1) – y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 – y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong công đoạn này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong đoạn này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. Vận dụng giải một số trong những dạng bài bác tập phân tích nhiều thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích nhiều thức thành nhân tử

 a) 3x – 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x – y) – 8y(y – x).

* giải thuật bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x – 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

– Ta thấy: y – x = –(x – y) yêu cầu ta có:

 10x(x – y) – 8y(y – x) =10x(x – y) – 8y<-(x – y)> =10x(x – y) + 8y(x – y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x – 1) – y(1 – x) trên x = 2001 và y = 1999.

* giải mã bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

– lưu ý: với dạng bài bác tập này họ cần so với hạng tử để mở ra nhân tử bình thường rồi so sánh thành nhân tử trước khi tính giá bán trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x – 1) – y(1 – x)

– Ta thấy: 1 – x = -(x – 1) bắt buộc ta có:

 x(x – 1) – y(1 – x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

– Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

⇔⇔

– kết luận có 2 giá trị x hài lòng là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

⇔ ⇔

– Kết luận: Có cha giá trị của x thỏa mãn nhu cầu là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  minh chứng rằng 55n + 1 – 55n chia hết mang đến 54 (với n là số từ bỏ nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

– Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 – 55n = 55n (55 – 1) = 55n.54

– do 54 phân tách hết mang lại 54 nên 55n.54 luôn luôn chia hết cho 54 với n là số từ nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết mang đến 54.

Bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* giải mã bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 – 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) – x3 + 9x2 – 27x + 27.

* lời giải bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 – 25x2 = 0

b) 

* lời giải bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) 2 – 25x2 = 0 

*

– Kết luận: vậy gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 cùng x= √2/5.

b) 

*
*
*

– Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 – 272 ; b) 372 – 132 ; c) 20022 – 22

* giải thuật bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử vật dụng 1 và thứ 2, hạng tử sản phẩm công nghệ 3 với thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử máy 1 với thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và sản phẩm công nghệ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử thứ nhất với nhau với hai hạng tử cuối cùng với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) bí quyết 2: Nhóm hạng tử đầu tiên với hạng tử thiết bị 3; hạng tử thứ hai với hạng tử thiết bị 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>

= 3<(x + y)2 – z2>

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) 

= (x – y)2 – (z – t)2

= <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)>

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* giải thuật bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

⇔  

– Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

– Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1

= x(x2 – 2x + 1)

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)

= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>

= 2<(x + 1)2 – y2>

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – (x2 – 2xy + y2) 

= 42 – (x – y)2

= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết mang lại 5 với tất cả số nguyên n.

* lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

– Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

– vì chưng 5 ⋮ 5 buộc phải 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết cho 5 cùng với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta ko thể vận dụng ngay các phương pháp đã học nhằm phân tích nhưng mà nếu tách bóc hạng tử – 3x = – x – 2x thì ta gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 với từ đó thuận tiện phân tích tiếp.

Xem thêm: Các Hằng Đẳng Thức Lớp 8 - Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả

Cũng bao gồm thể tách 2 = – 4 + 6, lúc ấy ta tất cả x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó thuận lợi phân tích tiếp)

* giải mã bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x2 – 3x + 2

= x2 – x – 2x + 2

= (x2 – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1)

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x2 – 3x + 2

= x2 – 3x – 4 + 6

= x2 – 4 – 3x + 6

= (x2 – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x2 + x – 6

= x2 + 3x – 2x – 6

= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3)(x – 2)

c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

III. Bài bác tập về phân tích nhiều thức thành nhân tử

– học sinh tự luyện tập

Bài tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) x2 – y2 – 2x + 2y

 2) 2x + 2y – x2 – xy 

 3) x2 – 25 + y2 + 2xy

 4) x2 – 2x – 4y2 – 4y

 5) x2y – x3 – 9y + 9x

 6) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài tập 2: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

 2) x3 + x2y – 4x – 4y

 3) 3(x+ 4) – x2 – 4x

 4) x3 – 3x2 + 1 – 3x 

 5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

 6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

 7) x2 – xy + x – y

 8) x2 – 2x – 15

Bài tập 3: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) 2x2 + 3x – 5

 2) x2 + 4x – y2 + 4

 3) 2x2 – 18

 4) x3 – x2 – x + 1

 5) x2 – 7xy + 10y2

 6) x4 + 6x2y + 9y2 – 1

 7) x3 – 2x2 + x – xy2

 8) ax – bx – a2 + 2ab – b2

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1

 3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1

 5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1

 7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4 

 9) x10 + x5 + 1

Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

 2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

 3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

 4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

 5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

 6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3

 7) x4 – 13x2 + 36

 8) x4 + 3x2 – 2x + 3

 9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

 2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3

 3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

 4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

 5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8

 6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24

 7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12

 8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8

 9) x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 7: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

 1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

 2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

 3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

 4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

 5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

 6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

 7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

 8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

 9) 4(x2 + 15x + 50) – (x2 + 18x + 74) – 3x2

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các cách thức phân tích đa thức thành nhân tử cùng các dạng bài xích tập phân tích nhiều thức thành nhân tử sinh hoạt trên hữu dụng với các em. Những góp ý với thắc mắc các em vui lòng để lại phản hồi dưới bài viết để HayHocHoi.Vn nghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.