MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình hàng đầu đối với một hàm con số giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là những hằng số
*
và
*
là một hàm số lượng giác.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác thường gặp

Cách giải:Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình cho
*
, mang lại phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Khẳng định nào sau đó là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với bọn họ nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số địa chỉ điểm biểu diễn những nghiệm của phương trình

*
trên con đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó bao gồm 4 điểm màn biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trê tuyến phố tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*
là

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình bậc nhất đối với
*
và
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình hàng đầu đối với
*
và
*
là phương trình gồm dạng:

*


Cách giải:Điều kiện để phương trình bao gồm nghiệm:
*
.

Chia nhị vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi kia phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm toàn bộ các giá trị thực của
*
để phương trình bao gồm nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình tất cả nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không tồn tại giá trị làm sao của

*
để phương trình có nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*
là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào dưới đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình

*
là
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*
là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình tất cả một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết phù hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác là phương trình gồm dạng:

*
trong đó
*
là những hằng số
*
và
*
là một hàm số lượng giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt đk cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc nhì theo ẩn phụ này. Cuối cùng đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn đk (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm tất cả các quý hiếm thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm bên trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không tất cả nghiệm bên trên khoảng
*
. Cho nên vì thế phương trình sẽ cho có nghiệm trực thuộc khoảng
*
khi và chỉ khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
và
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với
*
và
*
là phương trình gồm dạng:

*


Cách giải:
+ chất vấn xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, phân chia hai vế của phương trình cho
*
ta thu được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhị đối với

*
mà ta đã biết phương pháp giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta làm như sau:
+ Đối cùng với phương trình phong cách bậc ba:
*

thì cách giải cũng trọn vẹn tương từ như trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề làm sao sau đây là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu phân tách hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu phân tách 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình đã cho tương đương với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương với phương trình như thế nào sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, cố vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, phân chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*
là

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, thay vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Vì đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, phân chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

Vì

*
:

Vì

*
để phương trình sau tất cả nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, thay vào phương trình ta được:
*
. Phương trình tất cả nghiệm khi và chỉ khi
*
.Xét
*
, chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) tất cả nghiệm
*
thì phương trình sẽ cho có nghiệm. Cho nên vì vậy có 2 cực hiếm nguyên của
*
thỏa mãn yêu mong bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình gồm nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
và
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình có dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: Bài Giảng Hệ Tọa Độ Trong Không Gian, Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

-->