- Chọn bài bác -Bài 1: Phương pháp quy nạp toán họcBài 2: Dãy sốBài 3: Cấp số cộngBài 4: Cấp số nhânÔn tập chương 3

Xem tổng thể tài liệu Lớp 11: tại đây

Sách giải toán 11 Ôn tập chương 3 giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng suy luận hợp lí và vừa lòng logic, hình thành tài năng vận dụng kết thức toán học tập vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi nào thì cấp số cộng là hàng số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Cấp số cộng (un) bao gồm công không đúng d.

+ (un) là hàng tăng

⇔ un + 1 > un ∀ n ∈ N

⇔ un + 1 – un > 0 ∀ n ∈ N

⇔ d > 0

+ (un) là dãy sút

⇔ un + 1 n ∀ n ∈ N

⇔ un + 1 – un Câu hỏiBài 2 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho cung cấp số nhân gồm u1

a.q > 0

b.q n) : un = u1.qn – 1, u1 0 ⇒ qn – 1 > 0 ⇒ u1.qn – 1 1 n 0 với u1 n – 1

⇒ u1.qn – 1 > 0 (vì u1 n > 0.

+ giả dụ n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ qn – 1 > 0

⇒ u1.qn – 1 1 n 1 Câu hỏiBài 3 (trang 107 SGK Đại số 11): đến hai cấp số cộng tất cả cùng các số hạng. Tổng những số hạng khớp ứng của chúng bao gồm lập thành cấp cho số cùng không? vì chưng sao? cho 1 ví dụ minh họa.

Bạn đang xem: Toán 11 ôn tập chương 3

Lời giải:

Giả sử gồm hai cấp cho số cùng (un) với công không nên d1 và (vn) với công sai d2.

Xét hàng (an) với an = un + đất nước hình chữ s

Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + việt nam + 1) – (un + vn)

= (un + d1 + nước ta + d2) – (un + vn)

= d1 + d2 = const

⇒(an) là cung cấp số cùng với công không nên d1 + d2.

Ví dụ:

CSC (un): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. Bao gồm công sai d1 = 3 ;

CSC (vn): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … tất cả công không đúng d2 = 2.

⇒ (an): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.

Câu hỏiBài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): mang lại hai cung cấp số nhân bao gồm cùng những số hạng. Tích những số hạng tương ứng của chúng có lập thành cung cấp số nhân không? bởi sao? cho 1 ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp cho số nhân (un) với công bội q.1 và (vn) với công bội q2.

Xét dãy số (an) cùng với an = un.vn với tất cả n ∈ N*.

Ta có:

*

⇒ (an) là cung cấp số nhân với công bội q1.q2.

Ví dụ:

+ CSN (un) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; … tất cả công bội q.1 = 2.

+ CSN (vn) : -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; … gồm công bội q2 = -1.

⇒ CSN (an) : -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; 64 ; … bao gồm công bội q = -2.

Câu hỏiBài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): minh chứng với rất nhiều n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 phân chia hết mang đến 6

b. 3n3 + 15 phân tách hết mang lại 9

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a. Đặt un = 13n – 1

+ cùng với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ đưa sử: uk = 13k – 1 chia hết mang lại 6.

⇒ uk + 1 = 13k + 1 – 1

= 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk.

Mà 12.13k ⋮ 6; uk ⋮ 6.

⇒ uk + 1 ⋮ 6.

⇒ un ⋮ 6 với đa số n ∈ N.

hay 13n – 1 ⋮ 6 với tất cả n ∈ N.

b. Đặt un = 3n3 + 15n

+ với n = 1 ⇒ u1 = 18 ⋮ 9.

+ giả sử cùng với n = k ≥ 1 ta có: uk = (3k2 + 15k) ⋮ 9



⇒ uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 )

= 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18

= (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Mà uk ⋮ 9 với 9(k2 + k + 2) ⋮ 9

⇒ uk + 1 ⋮ 9.

Vậy un = 3n3 + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Câu hỏiBài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): mang đến dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2;

u2 = 2u1 – 1 = 3;

u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9;

u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)

+ cùng với n = 1 ⇒ u1 = 21 – 1 + 1 = 2 (đúng).

+ trả sử (1) đúng cùng với n = k ≥ 1, có nghĩa là uk = 2k-1 + 1 (1)

⇒ uk+1 = 2.un – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy un = 2n – 1 + 1 với tất cả n ∈ N.

Câu hỏiBài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, sút và bị chặn của những dãy số (un), biết:

*

Lời giải:

*

⇒ un + 1 > un với đa số n ∈ N

⇒ (un) là dãy tăng.

+ Xét tính bị chặn:

(un) là dãy tăng

⇒ u1 = 2 2 3 n ∀n ∈ N*

⇒ un ≥ 2 ∀n ∈ N*

⇒ (un) bị chặn dưới.

Xem thêm: ✅ Sách Giáo Khoa Lớp 4 Toán Lớp 4, Sách Giáo Khoa Toán Lớp 4

(un) không trở nên chặn trên.

⇒ un không biến thành chặn.



*

Suy ra: cùng với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)n – 1 = -1 ⇒ un n – 1 = 1 ⇒ un > 0.

⇒ u1 > u2 3 > u4 5 > u6 …

⇒ (un) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị ngăn :

Với ∀ n ∈ N:

*

⇒ -1 ≤ un ≤ 1.

Vậy (un) bị chặn.

*

+ Xét tính tăng giảm.




*

⇒ un + 1 n với tất cả n ∈ N.

⇒ (un) là hàng số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

un > 0 với đa số n.

⇒ (un) bị ngăn dưới.

un ≤ u1 = √2 – 1 với tất cả n

⇒ (un) bị ngăn trên.

⇒ (un) bị chặn.

Câu hỏiBài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): tra cứu số hạng đầu u1 cùng công không nên d của các cấp số cùng (un), biết:

*

Lời giải:

*



*

*

Câu hỏiBài 9 (trang 107 SGK Đại số 11): tra cứu số hạng dầu u1 cùng công bội q của các cấp số nhân (un), biết:

*