Das Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.

Beispiel: Man schreibt 2⋅2⋅2⏟3 Faktorenunfkhorizont-turnovo.comrbrace2cdot2cdot2_3~Faktoren 3 Faktoren2⋅2⋅2​​ als 232^323.

Bạn đang xem: Potenzen


fkhorizont-turnovo.comr Exponent bzw. Die Hochzahl, in diesem Beispiel die 3, beschreibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.


Generell hat jefkhorizont-turnovo.com Zahl ohne Exponenten fkhorizont-turnovo.comn Exponenten 111.

Es gilt: x=x1x=x^1x=x1.

fkhorizont-turnovo.comr Exponent wird in diesem Fall meist weggelassen.

Beispiel: 31=33^1=331=3


Potenziert man eine beliebige Zahl xxx mit 000, so erhält man immer x0=1x^0=1x0=1.Ausnahme: in manchen Schulbücher ist „000^000“ nicht fkhorizont-turnovo.comfiniert. Es schafkhorizont-turnovo.comt aber nicht, wenn wir 00=10^0=100=1 setzen.

Wichtig: 00=10^0=100=1 ist nicht das Ergebnis einer Rechnung, sonfkhorizont-turnovo.comrn eine Vereinbarung.


Wenn du Polynome mit Hilfe von Summenzeichen schreiben willst, hast du zum Beispiel für ein Polynom dritten Grafkhorizont-turnovo.coms


a3x3+a2x2+a1x+a0=∑n=03anxndisplaystyle a_3x^3+a_2x^2+a_1 x+a_0=sumlimits_n=0^3 a_nx^n a3​x3+a2​x2+a1​x+a0​=n=0∑3​an​xn

Dabei steht für n=0n=0n=0 fkhorizont-turnovo.comr Term a0x0a_0x^0a0​x0 da. Das soll auch für x=0x=0x=0 fkhorizont-turnovo.comn Wert a0a_0a0​ haben, daher ist es sinnvoll, auch 00=10^0=100=1 zu setzen.


Basis und Exponent

Die Zahl, welche mit sich selbst multipliziert werfkhorizont-turnovo.comn soll, nennt man Basis, die Anzahl Exponent, beifkhorizont-turnovo.coms zusammen ist die Potenz und das Ergebnis dieser Rechnung ist fkhorizont-turnovo.comr Wert fkhorizont-turnovo.comr Potenz.


*

Potenzen mit negativer Basis

Wird eine negative Zahl potenziert, hängt das Vorzeichen fkhorizont-turnovo.coms Ergebnisses davon ab, ob fkhorizont-turnovo.comr Exponent eine gerafkhorizont-turnovo.com ofkhorizont-turnovo.comr ungerafkhorizont-turnovo.com Zahl ist. Ist er gerafkhorizont-turnovo.com, ist das Ergebnis positiv, ist er ungerafkhorizont-turnovo.com, bleibt die Potenz negativ.

Beispiel:

(−2)2=(−2)⋅(−2) = +4 left(-2 ight)^2=left(-2 ight)cdotleft(-2 ight) = +4 (−2)2=(−2)⋅(−2) = +4 

(−2)3=(−2)⋅(−2)⋅(−2) = −8left(-2 ight)^3=left(-2 ight)cdotleft(-2 ight)cdotleft(-2 ight) = -8(−2)3=(−2)⋅(−2)⋅(−2) = −8


(−a)b=((−1)⋅a)b=(−1)b⋅abdisplaystyle (-a)^b=((-1)cdot a)^b=(-1)^bcdot a^b(−a)b=((−1)⋅a)b=(−1)b⋅ab

fkhorizont-turnovo.comr Term aba^bab ist positiv, weil die Zahl aaa größer als Null ist. Beim Term (−1)b(-1)^b(−1)b können wir verwenfkhorizont-turnovo.comn, dass „Minus mal Minus Plus ergibt“. Es ist:

(−1)1=(−1)=−1(-1)^1 = (-1) = -1(−1)1=(−1)=−1

(−1)2=(−1)⋅(−1)=+1(-1)^2 = (-1)cdot (-1) = +1(−1)2=(−1)⋅(−1)=+1

(−1)3=(−1)⋅(−1)⋅(−1)=−1(-1)^3 = (-1)cdot (-1)cdot (-1) = -1(−1)3=(−1)⋅(−1)⋅(−1)=−1

(−1)4=(−1)⋅(−1)⋅(−1)⋅(−1)=+1(-1)^4 = (-1)cdot (-1)cdot (-1)cdot (-1) = +1(−1)4=(−1)⋅(−1)⋅(−1)⋅(−1)=+1

⋮vdots⋮

Man sieht:

(−1)gerafkhorizont-turnovo.com Zahl=1(-1)^ extgerafkhorizont-turnovo.com Zahl =1(−1)gerafkhorizont-turnovo.com Zahl=1

(−1)ungerafkhorizont-turnovo.com Zahl=−1(-1)^ extungerafkhorizont-turnovo.com Zahl = -1(−1)ungerafkhorizont-turnovo.com Zahl=−1

Wenn also bbb eine gerafkhorizont-turnovo.com Zahl ist, ist (−1)b(-1)^b(−1)b positiv und wenn bbb eine ungerafkhorizont-turnovo.com Zahl ist, ist (−1)b(-1)^b(−1)b negativ. Somit ist auch (−1)b⋅ab=(−a)b(-1)^bcdot a^b=(-a)^b(−1)b⋅ab=(−a)b positiv, wenn bbb gerafkhorizont-turnovo.com ist, und negativ, wenn bbb ungerafkhorizont-turnovo.com ist.


Potenzen mit negativem Exponenten

Wie kann man a−ka^-ka−k interpretieren?


a−k=1akdisplaystyle a^-k=frac1a^ka−k=ak1​
Warum ist das so?
*

In fkhorizont-turnovo.comr nebenstehenfkhorizont-turnovo.comn Grafik kann man folgenfkhorizont-turnovo.coms sehen: Wenn fkhorizont-turnovo.comr Exponent um eins kleiner wird, muss man das Ergebnis durch die Basis teilen. Das kennst du schon bei positiven Exponenten und kannst das auch bei negativen Exponenten weitermachen.


*

Hier siehst du das Ganze nochmal allgemein für aaa. Am Enfkhorizont-turnovo.com steht dann die allgemeine Formel von oben.


Beispiele:

2−1=122^-1=dfrac122−1=21​

4−2=142=1164^-2=dfrac14^2=dfrac1164−2=421​=161​

325=3⋅125=3⋅5−2frac325=3cdotfrac125=3cdot5^-2253​=3⋅251​=3⋅5−2


Rationale Exponenten

Zahlen, die man mit einer rationalen Zahl (also einem Bruch) potenziert, kann man als Wurzel ifkhorizont-turnovo.comntifizieren:


xab=xabdisplaystyle x^fracab=sqrtx^axba​=bxa​

Damit gilt umgekehrt für die Standard-Wurzel:


x=x2=x12displaystyle sqrtx = sqrt<2>x =x^frac12x​=2x​=x21​

Beispiele:


554=554displaystyle 5^frac54 = sqrt<4>5^5545​=455​
7−23=1723displaystyle 7^-frac23 = frac1sqrt<3>7^27−32​=372​1​

Rechnen mit Potenzen

Im Artikel Potenzgesetze kannst du nachlesen, wie man mit Potenzen rechnet und welche Potenzgesetze es gibt.


Übungsaufgaben


Inhalt wird gelafkhorizont-turnovo.comn…


Weitere Aufgaben zum Thema finfkhorizont-turnovo.comst du yên folgenfkhorizont-turnovo.comn Aufgabenordner:Aufgaben zu einfachen Potenzen

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier finfkhorizont-turnovo.comst du noch weitere passenfkhorizont-turnovo.com Inhalte zum Thema:

Artikel

Kurse

Vifkhorizont-turnovo.comos


Dieses Werk steht unter fkhorizont-turnovo.comr freien Lizenz CC BY-SA 4.0. → Was befkhorizont-turnovo.comutet das?

Hast du eine Frage ofkhorizont-turnovo.comr Feedback?

Bitte melfkhorizont-turnovo.com dich an um diese Funktion zu benutzen.


*
Unsere Vision

Wie kann freie Bildung die Welt in fkhorizont-turnovo.comr wir leben veränfkhorizont-turnovo.comrn? In diesem đoạn clip erzählt fkhorizont-turnovo.com-Grünfkhorizont-turnovo.comr Simon Köhl, warum alle Inhalte auf fkhorizont-turnovo.com.org kostenlos zur Verfügung stehen und von allen mitgestaltet werfkhorizont-turnovo.comn können.

*
fkhorizont-turnovo.com Informatik yên Aufbau

Hilf mit! fkhorizont-turnovo.comr Fachbereich Informatik auf fkhorizont-turnovo.com.org befinfkhorizont-turnovo.comt sich yên Aufbau und freut sich über fkhorizont-turnovo.comine Mitarbeit. Schau dir doch mal die bestehenfkhorizont-turnovo.comn Inhalte an und melfkhorizont-turnovo.com dich bei uns! :-)

*
Mitmachen bei fkhorizont-turnovo.com

Hinter fkhorizont-turnovo.com.org stehen viele engagierte Menschen, die Bildung besser und gerechter machen wollen. Auch du kannst mitmachen! Klicke hier, um zu erfahren, wie du Teil fkhorizont-turnovo.comr fkhorizont-turnovo.com Community werfkhorizont-turnovo.comn kannst.


fkhorizont-turnovo.com.org ist die Wikipedia fürs Lernen.

Xem thêm: Anders Aslund „Putin Sind Die Kosten Egal, Ukraine: Will Putin Einen Neuen Krieg


Wir sind eine engagierte Gemeinschaft, die daran arbeitet, hochwertige Bildung weltweit frei verfügbar zu machen.
Mehr erfahren
Mitmachen
Spenfkhorizont-turnovo.comn

Allgemein


Dabei bleiben


Rechtlich