$f""(x_0) = 0$$f"""(x_0) eq 0$$f"(x_0) = 0$

Die 1. Und 2. Bedingung sind die Bedingungen für einen Wendepunkt.Die 3. Bedingung ist die Bedingung für eine waagrechte Tangente.

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3. Ableitung berechnen

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

$oldsymbolx$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen

$oldsymboly$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen


zu 2)

Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die $x$-Koordinaten der möglichen Wendepunkte.

zu 4)

Ist die 3. Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt.

zu 5)

Ist die 1. Ableitung dann gleich Null, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

zu 6)

Ein Punkt besteht im $mathbbR^2$ immer aus zwei Koordinaten, weshalb man bei der Berechnung eines Sattelpunktes nicht seine $y$-Koordinate vergessen darf. Dazu setzen wir die $x$-Koordinate in $f(x)$ ein.


3. Ableitung berechnen

$$ f"""(x) = 6 $$

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.

Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f"""(x) = 6 eq 0$.

Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 0$ ein Wendepunkt vor.

$oldsymbolx$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen

$$ f"(x) = 3x^2 $$

$$ f"(0) = 3cdot 0^2 = 0 $$

Da die 1. Ableitung für $x_0 = 0$ gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.

$oldsymboly$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen

$$ y = f(0) = 0^3 = 0 $$

$Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(0|0)$ einen Sattelpunkt.

Graphische Darstellung


Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet.

Der Sattelpunkt und die waagrechte Tangente sind rot markiert.


Abb.1

Beispiel 2


Untersuche die Funktion $f(x) = -frac23x^3 + 2x^2 - 2x + 2$ auf Sattelpunkte.


2. Ableitung berechnen

$$ f"(x) = -2x^2 + 4x - 2 $$

$$ f""(x) = -4x + 4 $$

Nullstellen der 2. Ableitung berechnen


Funktionsgleichung der 2. Ableitung gleich Null setzen

$$ -4x + 4 = 0 $$

Gleichung lösen

$$ eginalign* -4x + 4 &= 0 &&|, -4 \<5px> -4x &= -4 &&|, :4 \<5px> x &= frac-4-4 \<5px> x &= 1 endalign* $$


3. Ableitung berechnen

$$ f"""(x) = -4 $$

Nullstellen der 2. Ableitung in 3. Ableitung einsetzen

Da in der 3. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.

Die 3. Ableitung ist immer ungleich Null: $f"""(x) = -4 eq 0$.

Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 1$ ein Wendepunkt vor.

$oldsymbolx$-Koordinaten der Wendepunkte in 1. Ableitung einsetzen

$$ f"(x) = -2x^2 + 4x - 2 $$

$$ f"(1) = -2 cdot 1^2 + 4 cdot 1 - 2= 0 $$

Da die 1. Ableitung für $x_0 = 1$ gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.

$oldsymboly$-Koordinaten der Sattelpunkte berechnen

$$ y = f(1) = -frac23 cdot 1^3 + 2 cdot 1^2 - 2 cdot 1 + 2 = frac43 $$

$Rightarrow$ Die Funktion hat bei $(1|frac43)$ einen Sattelpunkt.

Graphische Darstellung


Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x)= -frac23x^3 + 2x^2 - 2x + 2$ eingezeichnet.

Der Sattelpunkt und die waagrechte Tangente sind rot markiert.


Abb.2
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Ich heiße Andreas Schneider, wurde 1989 in München geboren und lebte bis Sommer 2013 in Erding.Kurz nach meiner Auswanderung nach Málaga (Spanien) habe ich begonnen, an der fkhorizont-turnovo.com zu arbeiten.Inzwischen wird meine mehrfach prämierte Mathe-Lernplattform jeden Monat von bis zu 1Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen.Seit 2019 gibt es meine Erklärungen auch als eBooks.
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