Du zeichnest den Graphen einer Funktion und stellst fest, dass Du keinen y-Wert an der Stelle
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hast.

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Was jetzt? Einfach stur weiterzeichnen? Oder die Stelle überspringen? Für dieses Problem gibt es natürlich eine Lösung. Nämlich die Asymptoten.

Asymptote – Grundlagenwissen

Wie kann es überhaupt sein, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle kein Ergebnis liefert?

Definitionslücke

Versuche einmal,

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für den x-Wert 0 zu berechnen.

Richtig. Das geht nicht, weil Du nicht durch 0 teilen kannst. Hier hat die Funktion also kein Ergebnis.


Eine Definitionslücke steht für einen oder mehrere x-Werte oder ein Intervall, in dem die Funktion kein Ergebnis, also keinen zugehörigen y-Wert hat. Sie ist an dieser Stelle nicht definiert.

Den Definitionsbereich und die Definitionslücke gibst Du so an:

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Dabei steht das

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für den Definitionsbereich und das
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für die reellen Zahlen. Danach kommen in der geschweiften Klammer die Zahlen, die vom Definitionsbereich ausgenommen sind.


Und eben diese Definitionslücke ist der Grund, warum Du Deine Funktion nicht durchgehend zeichnen kannst.


Der Definitionsbereich für die eben erwähnte Funktion

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ist

*
.

Die Funktion ist also für alle reellen Zahlen außer 0 definiert.

Nun stellt sich die Frage, in welchen Funktionen so eine Definitionslücke vorkommt. Denn beispielsweise eine lineare Funktion wird durch eine durchgehende Gerade dargestellt und hat somit keine Stelle, an der sie nicht definiert ist.


Gebrochen-rationale Funktion und Logarithmusfunktion

Funktionen, die an einer bestimmten Stelle kein Ergebnis haben, gibt es nicht viele. Für das Thema Asymptoten kommen hier nur die gebrochen-rationalen Funktionen infrage, domain authority durch 0 teilen nicht funktioniert.


Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die einen Bruch als Funktionsterm hat. Der Zähler und der Nenner enthalten dabei jeweils Polynome. Kurz gesagt, ist eine gebrochen-rationale Funktion der Quotient zweier Polynome.

*

Dabei stehen

an und bn für die Koeffizienten/Vorfaktoren, sind also eine reelle Zahl,xn für die Potenzen,und x0 ist eine Konstante, also eine weitere reelle Zahl, die addiert/subtrahiert wird.

Ein Polynom ist eine Reihe aus Koeffizienten und Potenzen. Beispielsweise sind sowohl der Zähler, als auch der Nenner der soeben aufgestellten Definition jeweils ein Polynom. Mehr dazu findest Du yên ổn Artikel Polynome.


Und auch, wenn es auf den 1. Blick nicht ersichtlich erscheint, haben die Exponential- und Logarithmusfunktionen ebenfalls eine Asymptote.


Zu den Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören:

und der Logarithmus:
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Sie stellen das natürliche Wachstum sowie den Verlauf der Sättigung dar.


Du fragst Dich gerade, warum hier die Wurzelfunktion nicht erwähnt wird? Denn eine negative Zahl unter der Wurzel ist nicht lösbar und somit ist die Funktion an dieser Stelle bzw. Yên ổn ganzen negativen Bereich nicht definiert. Das ist richtig, aber domain authority die Wurzelfunktion beim Wert 0 abrupt aufhört, gibt es keine Asymptote, der sie sich annähert.


Asymptote – Definition und Arten

Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass bestimmte Funktionen die Eigenschaft besitzen, dass für manche reelle Zahlen eine Definitionslücke besteht. An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet und der Funktionsgraph kann nur näherungsweise beschrieben werden.

Definition

Eine Asymptote hat also irgendwas mit der Definitionslücke zu tun. Aber was?


Die Asymptote beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine solche Definitionslücke an einen bestimmten Wert. Anders ausgedrückt wird der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote immer kleiner und kleiner für

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. Demnach ist eine Asymptote eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie jemals zu schneiden. Wenn die Funktion durch f(x) und die Asymptote vereinfacht durch g(x) beschrieben wird, so ist der Grenzwert gleich null, wenn x gegen unendlich läuft.


Die Asymptote bezieht sich also auf das Verhalten einer Funktion in nächster Umgebung einer Definitionslücke oder am Rande eines nicht definierten Gebiets und wenn der Funktionswert x gegen

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läuft.


Der Definitionsbereich der Funktion

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lautet
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, denn wenn Du 2 für x einsetzt, wird der Nenner 0 und durch 0 kann nicht geteilt werden.

Diese Theorie kannst Du bestätigen, indem Du den Graphen von f(x) skizzierst.

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bestätigt sich.

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oder

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K ist dabei der Wert der Asymptote.

Um eine senkrechte Asymptote zu ermitteln, kannst Du den Grenzwert zu allen nicht definierten Werten, beziehungsweise Randwerten bilden. Läuft der ermittelte Grenzwert gegen plus oder minus unendlich, so existiert mindestens eine senkrechte Asymptote für die entsprechende Funktion.

Den Grenzwert bildest Du so:

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Um einen Grenzwert zu bilden, setzt Du in Deine Funktion einen Wert ein, der sehr nah am nicht definierten Wert liegt. Falls an dieser Stelle eine Asymptote existiert, erhältst Du als Ergebnis entweder plus oder minus unendlich. Du kannst dabei den Graphen entweder von link oder von rechts gegen den Grenzwert laufen lassen, je nachdem, was für Deinen Fall günstiger ist. Die Schreibweisen sind dabei folgende:


Das kannst Du Dir an der Funktion

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anschauen.

Um eine Definitionslücke zu finden, muss der Nenner 0 werden, also rechnest Du:

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Es existiert also eine Definitionslücke bei -1.

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Um nun zu überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Definitionslücke um einen Grenzwert handelt, lässt Du x gegen -1 laufen. Du kannst hier beide Varianten des Limes ausprobieren. Für den Limes von liên kết benötigst Du eine Zahl, die minimal kleiner ist als -1. Also beispielsweise -1.001. Für den Grenzwert von rechts würde sich dann dementsprechend -0,999 anbieten.

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Beide Grenzwerte haben jeweils eine Lösung. Was sagt Dir das?

Bei

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existiert definitiv eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr sogar von beiden Seiten an, denn beide Rechnungen gehen gegen unendlich. Genauer gesagt verläuft der Graph auf der linken Seite der Asymptote nach plus unendlich, also nach oben und auf der anderen Seite kommt er von minus unendlich, also von unten. Mit diesem Wissen kannst Du den Graphen jetzt viel besser skizzieren!

*

Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f(x) gilt:

*
. Das bedeutet, der Graph der Funktion f(x) nähert sich für
*
immer mehr der Geraden
*
.


Waagerechte Asymptoten treten nicht so oft auf, wie senkrechte Asymptoten, denn zum Beispiel ganzrationale Funktionen besitzen keine waagerechte Asymptote.


Bei gebrochen-rationalen Funktionen können waagrechte Asymptoten auftreten, es gibt aber nicht immer welche. Ob eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote hat, erkennst Du, wenn Du Zähler und Nenner miteinander vergleichst.

Zählergrad > Nennergrad → keine waagerechte AsymptoteZählergrad = Nennergrad → waagerechte Asymptote
*
für
*

Zählergrad

Bei allen anderen Funktionsarten benötigst Du den Grenzwert gegen plus und minus unendlich, um herauszufinden, ob und an welcher Stelle eine waagrechte Asymptote existiert.


Mit diesem Wissen lässt sich nun herausfinden, an welcher Stelle die e-Funktion

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eine Asymptote hat.

Da es sich hier nicht um einen Bruch handelt, benötigst Du den Grenzwert von f(x) für x gegen plus und minus unendlich.

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Wenn Du eine sehr kleine Zahl für x einsetzt, läuft f(x) gegen 0, das heißt es existiert eine waagrechte Asymptote bei

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, also genauer gesagt, die x-Achse ist die Asymptote.

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*
*

Für eine erste Überprüfung, ob waagrechte Asymptoten existieren, kannst Du die oben angesprochenen Regeln verwenden:

In f(x) ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, da x2 einen höheren Grad hat, als x. Das heißt, dass hier keine waagrechte Asymptote existiert.Bei g(x) sind Zähler- und Nennergrad gleich. Hier ist also ein bisschen Rechenarbeit angesagt, denn es existiert eine waagrechte Asymptote. Aber bei welchem y?

Um also die Lage der waagrechten Asymptote von g(x) herauszufinden, bildest Du wieder den Grenzwert von g(x) für x gegen plus und minus unendlich.

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Der Grenzwert beträgt also 1 für beide Seiten. Das heißt, die waagrechte Asymptote von g(x) liegt bei

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.

*
.

Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f(x) gilt:

*

Das bedeutet, der Graph der Funktion f(x) nähert sich für

*
immer mehr der Geraden
*
an.

Zur Bestimmung einer schiefen Asymptote wird die Polynomdivision genutzt. Dabei wird der Zähler durch den Nenner geteilt.


Besonderheiten:

Eine Funktion kann höchstens eine schiefe Asymptote besitzen.Eine schiefe und waagerechte Asymptote können nie gleichzeitig vorkommen, dafür aber eine senkrechte und eine schiefe Asymptote.

Das heißt, Du erhältst die Geradengleichung einer schiefen Asymptote, indem Du den Zähler durch den Nenner teilst. Also genau in der Reihenfolge, wie Du auch sonst einen Bruch auflösen würdest.


Um die schiefe Asymptote der Funktion

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herauszufinden, teilst Du also den Zähler durch den Nenner.

*


Bei einer Polynomdivision schaust Du in mehrere Etappen, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Es unterscheidet sich yên ổn Prinzip nicht großartig vom schriftlichen Dividieren.

In diesem Fall kannst Du den Nenner mit x multiplizieren, damit Du das x2 eliminierst. Den Nenner, den Du erhältst, wenn Du ihn mit x multiplizierst, ziehst Du dann vom Zähler ab und wiederholst das Ganze für den neuen Zähler. Sobald der Zählergrad kleiner ist, als der Nennergrad, kannst Du das Restglied als Bruch hinter die neue Gleichung schreiben, denn es wird für sehr große x-Werte 0 und kann yên Fall der Asymptotenberechnung vernachlässigt werden.

Genaueres findest Du yên ổn Artikel zur Polynomdivision.


In diesem Fall entsteht ein kleiner Rest, aber da er für sehr große Werte gegen null läuft, kannst Du ihn weglassen. Die Geradengleichung Deiner schiefen Asymptote lautet also:

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zu berechnen, wendest Du wieder die Polynomdivision an.

*


Den hinteren Teil kannst Du wieder weglassen.


Die Funktionsgleichung der Asymptote lautet also

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.

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Anhand der Grenzwerte kannst Du erkennen, dass:

An der senkrechten Asymptote der Graph von f(x) auf der linken Seite nach plus unendlich verläuft und auf der rechten Seite nach minus unendlich.Sich der Graph von f(x) an der waagrechten Asymptote sowohl für negative, als auch für positive x-Werte der 1 annähert.

Daraus kannst Du schließen, dass der Graph keine durchgezogene Linie ist, sondern Du zwei Linien ziehen musst, da die Annäherung an 1 sowohl für negative, als auch für positive Werte stattfindet, bei 2 aber eine senkrechte Asymptote existiert, die den Graphen von f(x) unterbricht. Außerdem weißt Du, dass der Graph link der Asymptote nach plus unendlich geht, daher nähert er sich der waagrechten Asymptote von oben an.

Genau umgekehrt verhält es sich mit den Werten rechts der senkrechten Asymptote.

*
für
*
Zählergrad

Asymptote – Übungsaufgaben

Nun kennst Du alle Arten von Asymptoten und kannst testen, ob Du alles verstanden hast!


Aufgabe 1

Beurteile, ob bei folgenden Funktionsgleichungen eine waagrechte Asymptote vorliegt.

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Lösung

Der Zählergrad von h(x) ist gleich dem Nennergrad, es liegt also eine waagrechte Asymptote vor. Die genaue Lage muss allerdings berechnet werden.

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.

Lösung

Um die genaue Lage der waagrechten Asymptote zu bestimmen, setzt Du in die Funktion einen sehr großen und einen sehr kleinen x-Wert ein und erhältst so den Wert, gegen den sie läuft.

*

Du siehst, h(x) läuft sowohl im negativen als auch yên positiven Bereich gegen 1. Die waagrechte Asymptote liegt also bei

*
.

*

Lösung

1.

Es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion. Es können also senkrechte, waagrechte und schräge Asymptoten auftreten. Eine kurvenförmige Asymptote kannst Du ausschließen, da der Zählergrad nur um 1 höher ist, als der Nennergrad.

2.

Die Definitionsmenge definiert sich zu:

*
.

Der Grenzwert gegen diese beiden Werte sagt Dir, dass es eine senkrechte Asymptote bei

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und bei
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gibt:

*

3.

Weiter geht"s mit der waagrechten Asymptote. Domain authority der Zählergrad höher ist, als der Nennergrad, gibt es hier allerdings keine.

4.

Wie gerade schon festgestellt, ist der Zählergrad um 1 höher als der Nennergrad. Es könnte also eine schiefe Asymptote vorliegen. Zur Bestimmung wendest Du die Polynomdivision an:

*

Diese Rechnung kannst Du vermutlich endlos weiterführen, aber Du brauchst ja ohnehin nur den vorderen Teil, denn sobald der Zählergrad kleiner ist, als der Nennergrad, wird dieses Glied für große x-Werte ohnehin null und kann daher vernachlässigt werden. Die Gleichung Deiner schiefen Asymptote lautet also:

*

5.

Nun hast Du alle Asymptoten gefunden und kannst den Graphen von f(x) skizzieren. Dabei helfen Dir die Grenzwertberechnungen von den senkrechten Asymptoten, denn daran siehst Du, in welche Richtung die Graphen jeweils link und rechts der Asymptoten verlaufen.

*
für
*
Zählergrad Funktionen, deren Zählergrad um 2 höher ist, als der Nennergrad, können auch eine kurvenförmige Asymptote haben. Hier nutzt Du ebenfalls die Polynomdivision zur Bestimmung.

Nachweise

http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/abi12/abi-Asy.pdf

Häufig gestellte Fragen zum Thema Asymptote


Was ist die Gleichung einer Asymptote?


Die Gleichung einer Asymptote gibt den Verlauf der Asymptote an. Es ist also ein Funktionsterm. Je nachdem, ob es sich um eine waagrechte, senkrechte oder schiefe/kurvenförmige Asymptote handelt, kannst Du sie unterschiedlich angeben.

senkrecht: x=k oder f(y)=kwaagrecht: y=k oder f(x)=kschief und kurvenförmig: y=mx+t oder f(x)=mx+t

Eine Funktion hat eine Asymptote, wenn sie eine Definitionslücke hat, oder aus einem Bruch mit bestimmten Zähler- und Nennergraden besteht. Es gibt bestimmte Regeln, anhand derer Du erkennen kannst, ob und wenn ja, welche Asymptote vorliegt.

Xem thêm: Bài 3 Trang 56 Sgk Toán 7 Tập 2


Asymptoten kannst Du anhand der Definitionslücken, dem Grenzwert und mittels Polynomdivision ermitteln.