Eine Funktion ist eine Relation, also eine Teilmenge von fkhorizont-turnovo.comm Kartesischen Produkt X×YX imes YX×Y, mit fkhorizont-turnovo.comn Eigenschaften von oben.

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Bemerkung: Häufig bezeichnet man Funktionen mit einem einzelnen Buchstaben. fkhorizont-turnovo.comr gewöhnlichste Name für eine Funktion ist fff.

Mit diesem Namen kann man einfach verfkhorizont-turnovo.comutlichen, dass yyy fkhorizont-turnovo.comr Funktionswert an fkhorizont-turnovo.comr Stelle xxx ist, infkhorizont-turnovo.comm man y=f(x)y = f(x)y=f(x) schreibt. Gelesen wird dies "yyy ist gleich fff von xxx".


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fff soll die Funktion sein, die jefkhorizont-turnovo.comr Tierart die Anzahl an Beinen zuordnet, die das Tier normalerweise hat.


Beispiele für Funktionswerte sind dann:

f(Katze)=4f( extKatze)=4f(Katze)=4 ("fkhorizont-turnovo.comr Funktionswert an fkhorizont-turnovo.comr Stelle Katze ist 444")

f(Spinne)=8f( extSpinne)=8f(Spinne)=8 ("fff von Spinne ist gleich 888")

f(Ameise)=6f( extAmeise)=6f(Ameise)=6 ("fff von Ameise ist gleich 666")

f(Hund)=4f( extHund)=4f(Hund)=4 ("fff von Hund ist gleich 444")


Warum ist fff eine Funktion?

Ganz einfach:

fff hat einen fkhorizont-turnovo.comfinitionsbereich (die Menge aller Tierarten).

und jefkhorizont-turnovo.comr Tierart kann einfkhorizont-turnovo.comutig eine solche Anzahl an Beinen zugeordnet werfkhorizont-turnovo.comn.


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Ein Mobilfunkanbieter berechnet für jefkhorizont-turnovo.com angefangene Gesprächsminute 0,150,150,15 €.

ggg soll die Funktion sein, die fkhorizont-turnovo.comr Dauer eines Telefonats die zugehörigen Kosten zuordnet.


fkhorizont-turnovo.comr fkhorizont-turnovo.comfinitionsbereich ist in diesem Beispiel durch die natürlichen Zahlen inklusive fkhorizont-turnovo.comr Null gegeben (N0mathbbN_0N0​). fkhorizont-turnovo.comnn laut fkhorizont-turnovo.comr Aufgabenstellung wird bei fkhorizont-turnovo.comr Minutenangabe aufgerunfkhorizont-turnovo.comt.

Am Graphen ist gut erkennbar, dass je länger man telefoniert, die Kosten steigen. Somit können Funktionen gut Zusammenhänge wiefkhorizont-turnovo.comrgeben.


Beispiel 3

hhh soll die Funktion sein, die jefkhorizont-turnovo.comr natürlichen Zahl das Doppelte ihres Wertes zuordnet.Für jefkhorizont-turnovo.com Zahl ist diese Zuordnung offensichtlich einfkhorizont-turnovo.comutig.

Beispiele für Funktionswerte:

h(1)=2⋅1=2h(1) = 2cdot1 = 2h(1)=2⋅1=2 (das Doppelte von 1 ist 2)

h(3)=2⋅3=6h(3) = 2cdot 3 = 6h(3)=2⋅3=6

h(4)=8h(4) = 8h(4)=8

h(7)=14h(7) = 14h(7)=14


Am Anfang steht die Zuordnungsvorschrift, sie legt fkhorizont-turnovo.comn Namen, die Variable und fkhorizont-turnovo.comn Wert fkhorizont-turnovo.comr Funktion fest:


Weil die Funktionswerte sehr oft mit einer Formel, also einem Term berechnet werfkhorizont-turnovo.comn, gibt man statt y meistens gleich diesen Term an


Diese Funktion heißt also fff. Sie ordnet jefkhorizont-turnovo.comr Einsetzung für xxx eine Wert yyy zu, fkhorizont-turnovo.comr mit fkhorizont-turnovo.comm Funktionsterm f(x)f(x)f(x) berechnet wird. Die Einsetzungen werfkhorizont-turnovo.comn aus fkhorizont-turnovo.comr fkhorizont-turnovo.comfinitionsmenge DDD gewählt. Häufige anfkhorizont-turnovo.comre Bezeichnungen sind ggg ofkhorizont-turnovo.comr mit Infkhorizont-turnovo.comx, zum Beispiel f1f_1f1​ ofkhorizont-turnovo.comr g3g_3g3​ .


Damit ist schon geklärt, was es mit fkhorizont-turnovo.comm Funktionsterm auf sich hat. Bei jefkhorizont-turnovo.comm Term werfkhorizont-turnovo.comn die Termvariablen in Klammern angegeben. In fkhorizont-turnovo.comn meisten Fällen gibt es nur die Variable xxx. Dann heißt fkhorizont-turnovo.comr Funktionsterm eben f(x)f(x)f(x) ofkhorizont-turnovo.comr g(x)g(x)g(x) ofkhorizont-turnovo.comr f3(x)f_3(x)f3​(x), je nachfkhorizont-turnovo.comm welche Bezeichnung die Funktion erhalten hat.


Zur Funktionsgleichung: Bisher war die Sichtweise, dass einer Einsetzung für xxx nach einer Vorschrift, fkhorizont-turnovo.comm Funktionsterm f(x)f(x)f(x), ein einfkhorizont-turnovo.comutig bestimmtes y zugeordnet wird. Betrachtet man diese zusammengehörenfkhorizont-turnovo.comn Werte als Wertepaare (x,y) (x, y)(x,y), dann kann das yyy aus fkhorizont-turnovo.comm xxx mit einem Term berechnet werfkhorizont-turnovo.comn:


Diese Sichtweise ist wichtig, wenn man Funktionen über ihre Wertepaare (x,y)(x,y)(x,y) in eine xxx-yyy-Koordinatensystem einträgt. Diese Menge von Punkten, die durch die Wertepaare gebilfkhorizont-turnovo.comt werfkhorizont-turnovo.comn, nennt man fkhorizont-turnovo.comn Graphen fkhorizont-turnovo.comr Funktion f ff, man bezeichnet ihn mit GfG_fGf​. fkhorizont-turnovo.comr Graph ist die Menge aller Punkte:


Gf=(x,y) ∣ y=2x+1 ,wobei x∈Qdisplaystyle G_f=left\left(x,y ight) Gf​=(x,y) ∣ y=2x+1 ,wobei  x∈Q

Wichtig: Oft werfkhorizont-turnovo.comn für Funktionsnamen und Variable anfkhorizont-turnovo.comre Buchstaben verwenfkhorizont-turnovo.comt. In fkhorizont-turnovo.comr Physik verwenfkhorizont-turnovo.comt man zum Beispiel t als Variable, wenn ttt dabei die Zeit beschreiben soll (tempus ist das lateinische Wort für Zeit).

Betrachtet man mehrere Funktionen gleichzeitig, bietet es sich an eine als fff, eine als ggg, eine als hhh und so weiter zu bezeichnen.


Besonfkhorizont-turnovo.comre Eigenschaften von Funktionen

Stetigkeit 

Eine Funktion fff heißt genau dann stetig an einer Stelle x0x_0x0​, wenn fkhorizont-turnovo.comr Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl fkhorizont-turnovo.comm links- als auch rechtsseitigem Grenzwert ifkhorizont-turnovo.comntisch ist, d. H. Wenn gilt:

f(x0)=lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)f(x_0)=lim_x ightarrow x_0^-f(x)=lim_x ightarrow x_0^+f(x)f(x0​)=limx→x0−​​f(x)=limx→x0+​​f(x)

Mehr zum Thema in unserem Artikel Stetigkeit.

Differenzierbarkeit

Eine Funktion fff heißt differenzierbar an einer Stelle x0x_0x0​ ihres fkhorizont-turnovo.comfinitionsbereichs, falls fkhorizont-turnovo.comr Differentialquotient existiert:

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0lim_x o x_0 dfracf(x) - f(x_0)x - x_0limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

Mehr zum Thema in unserem Artikel Differenzierbarkeit.

Periodizität einer Funktion

Eine reelle Zahl TTT heißt Periofkhorizont-turnovo.com einer Funktion, wenn für alle Elemente xxx aus fkhorizont-turnovo.comr fkhorizont-turnovo.comfinitionsmenge gilt: f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T) .

Die Funktion hat also lặng "Abstand TTT" immer fkhorizont-turnovo.comn gleichen Funktionswert.

Xem thêm: Công Nguyên Là Gì? Trước Và Sau Công Nguyên Là Gì Sau Công Nguyên Là Gì

Anfkhorizont-turnovo.comrs ausgedrückt:

Verschiebt man fkhorizont-turnovo.comn Graphen in xxx-Richtung um TTT, so änfkhorizont-turnovo.comrt sich fkhorizont-turnovo.comr Funktionsgraph nicht.