Du hast vermutlich Variablen und Terme schon yên Unterricht kennengelernt. Variablen tauchen oft in size von Buchstaben auf und es kann mit ihnen gerechnet werden. Doch was bedeutet es, mit Buchstaben zu rechnen? In diesem Artikel wirst du erfahren, was Variablen sind, wo sie in der Mathematik zu finden sind und wie du mit ihnen rechnen kannst.

Bạn đang xem: Variablen (mathe): definition und rechnen

Variablen Bedeutung

Variablen können verwendet werden, um Zusammenhänge nicht nur für bestimmte Zahlen, sondern allgemein zu beschreiben. Du kennst auch schon mehrere Beispiele, in denen Variablen verwendet wurden. Beispielsweise sind dir Variablen bereits bei den Rechengesetzen oder Rechenregeln begegnet:


Kommutativgesetz der Addition

Für die Variablen a und b können verschiedene, beliebige Zahlen eingesetzt werden.

*


Außerdem hast du schon kennengelernt, wie du den Flächeninhalt oder den Umfang eines Quadrats, Rechtecks oder Dreiecks berechnen kannst. Auch dabei werden Variablen verwendet.


Umfang Dreieck

Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c berechnet sich durch die Formel:

*
Abbildung 1: Dreieck

Mit dieser allgemeinen Formel kann für jedes Dreieck der Umfang berechnet werden, indem die entsprechenden Werte für die Seitenlängen in die Variablen eingesetzt werden.


Für zwei unterschiedliche Variablen kann auch die gleiche Zahl eingesetzt werden:

*


Allerdings solltest du beachten, dass es nicht immer möglich oder sinnvoll ist, alle Zahlen in eine Variable einzusetzen. Es macht z. B. Keinen Sinn eine negative Zahl für die Länge einer Dreiecksseite einzusetzen.


Wie du später sehen wirst, wird deshalb bei Termen, Gleichungen und Funktionen eine Definitionsmenge festgelegt.


In den Beispielen hast du gesehen, dass für Variablen verschiedene Zahlenwerte eingesetzt werden können.

Variablen Definition


Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.

Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie beispielsweise a, b, c oder x, y, z oder mit Symbolen beschrieben.


In den meisten Fällen steht eine Variable für eine Zahl. Eine Variable kann aber auch für einen Term oder eine Funktion stehen.


Terme mit einer Variablen


Ein Term ist ein Rechenausdruck, der Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenoperationen ( enthalten kann.

Durch das Einsetzen von Zahlen in die auftretenden Variablen kann ein bestimmter Zahlenwert für den Term berechnet werden.

Die Menge der Zahlen, die in einen Term eingesetzt werden darf, wird Grundmenge oder Definitionsmenge genannt.


Ein Term kann auch Wurzeln und Potenzen beinhalten. Wie das genau aussieht, kannst du im Artikel zum Term nachlesen.


Terme können auch keine Variablen enthalten. Diese Art von Term wird Zahlterm genannt und der Wert des Terms kann sofort berechnet werden.

Enthält ein Term eine oder mehrere Variablen, dann kann der Term-Wert durch Einsetzen von Zahlen für die Variablen berechnet werden. Damit du eine Vorstellung für Terme mit Variablen bekommst, kannst du dir folgendes Beispiel ansehen:


Betrachten wir z. B. Den Term

*
.

Dann ist x die Variable. Die Definitionsmenge ist
*
.Für x darf nicht 0 eingesetzt werden, domain authority sonst durch 0 geteilt wird:
*
.Durch Einsetzen von Werten für die Variable x erhält man die Term-Werte:Für ist der Term-Wert
*

Zwei Terme können zu einer Gleichung oder Ungleichung zusammengefügt werden. Außerdem werden Terme zur Beschreibung von Funktionen verwendet.

Wenn du mehr über Terme erfahren möchtest, kannst du einiges yên ổn Artikel "Term, Variable, Termwert" nachlesen.


Variablen in Gleichungen

Variablen spielen auch in Gleichungen eine wichtige Rolle. Oft muss der Wert einer Variable bestimmt werden, bei dem die Gleichung erfüllt ist.


Eine Gleichung setzt sich aus zwei Termen zusammen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind

*
.


Schau dir zunächst das Beispiel an:


Aufgabe 1

Welche Lösung hat die Gleichung

*
?

Lösung

Vermutlich siehst du sofort, dass du 4 für x einsetzen kannst, damit die Gleichung erfüllt ist. Falls nicht, kannst du es aber auch durch Probieren oder Rechnen herausfinden:

*
.

Für andere Werte wie zum Beispiel 5 ist die Gleichung nicht erfüllt:

*
.


Bei einer Gleichung versucht man meistens alle Zahlen zu finden, für die die Gleichung erfüllt ist. Diese Zahlen heißen Lösungen der Gleichung.


Die Lösungsmenge einer Gleichung umfasst alle Werte, die eingesetzt in die Variable, die Gleichung erfüllen.


Die Lösungen von Gleichungen können durch systematisches Probieren, durch Umkehraufgaben oder Äquivalenzumformungen gefunden werden.


Es ist nicht immer möglich Lösungen für eine Gleichung zu finden. Gleichungen können keine Lösung, eine Lösung, mehrere Lösungen oder sogar unendlich viele Lösungen haben.


Variablen in Funktionen

Du kannst dir eine Funktion wie einen Automaten vorstellen. Es wird ein Wert (x) eingegeben, mit diesem Wert wird die Funktionsvorschrift (f) ausgeführt und ein anderer Wert (y) wird ausgegeben.

Mathematisch formuliert lautet die Definition der Funktion so:


Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zuordnet.


In Funktionen gibt es verschiedene Typen von Variablen.

Unabhängige und abhängige Variablen

Durch Funktionen werden Zusammenhänge zwischen Größen beschrieben.


Da der y-Wert in einer Funktion durch das Einsetzen eines bestimmten x-Wertes in die Funktion berechnet wird, ist er abhängig von der Wahl des x-Wertes. Deshalb wird die y-Variable auch als abhängige Variable bezeichnet.


Die x-Variable hingegen kann unabhängig gewählt werden.


Die Variable x wird als unabhängige Variable bezeichnet, domain authority die Einsetzungen frei aus der Definitionsmenge gewählt werden dürfen.


Wenn eine Zahl in eine Funktion eingesetzt wird, wird sie in den Funktionsterm für die Variable x eingesetzt.


Die Funktion

*
beschreibt den Preis von Schokolade.

Für x wird die Anzahl der gekauften Tafeln Schokolade eingesetzt.Die Funktion gibt dann den Gesamtpreis als y-Wert aus.

Der Wert der Funktion kann entweder als f(x) oder als y-Wert bezeichnet werden.


Berechne den Preis für 3 Tafeln Schokolade.

*
.

Für 3 Tafeln Schokolade muss also 6 € gezahlt werden. Wie du siehst, ist der Gesamtpreis (y-Wert) von der Anzahl der Tafeln (x-Wert) abhängig.


Variable als Parameter

Eine besondere Art von Variablen sind Parameter. Durch Parameter wird eine Funktion auf eine bestimmte Art und Weise verändert.

Für Parameter kannst du einen beliebigen, aber festen Wert wählen. D. H., wenn ein Wert gewählt wurde, wird er nicht mehr verändert.

Durch Parameter in Funktionen entstehen Funktionenscharen.


Du kannst verschiedene Funktionen der size

*
betrachten.

x ist die unabhängige Variabley ist die abhängige Variablem ist ein Parameter

Jetzt kann man die Funktion

*
für verschiedene Steigungen betrachten. Der Parameter m wird dafür verändert.

*
. Berechne den Funktionswert an der Stelle
*
.

Lösung

Um den Funktionswert an der Stelle

*
zu berechnen, muss für die Variable x der Wert 4 eingesetzt werden.

*

Der Funktionswert ist also 6.

Veranschaulicht am Graphen der Funktion würde das dann so aussehen:

*
ist wieder die Funktion, die den Preis von Schokolade in Abhängigkeit der Anzahl der Tafeln angibt. Lukas zahlt 6 €. Berechne, wie viele Tafeln Schokolade er gekauft hat.Lösung

Lösung berechnen:

Du weißt also, dass der Funktionswert 6 ist

*

Wenn du die Gleichung jetzt nach x auflöst, kannst du den Wert für x berechnen und damit, wie viele Tafeln Schokolade Lukas gekauft hat.

*

Lukas hat 3 Tafeln Schokolade gekauft.

Graphische Lösung:

Um den x-Wert graphisch zu bestimmen, musst du einen waagrechten Strich durch den gegebenen y-Wert ziehen. Dort, wo dieser Strich den Funktionsgraphen trifft, musst du einen senkrechten Strich nach unten ziehen. Der x-Wert, bei dem die x-Achse getroffen wird, ist dann die Lösung.

*


Wie können Kombinationen aus Zahlen und Variablen jetzt addiert oder subtrahiert werden?


Beim Zusammenfassen gleichartiger Variablen beziehungsweise Terme werden die Koeffizienten addiert oder subtrahiert und die Variable beziehungsweise der Term wird beibehalten.


Schauen wir uns das mal an verschiedenen Beispielen genauer an.


1)

*

2)

*

3)

*


Der Koeffizient 1 wird meistens weggelassen:

*
.


Dass diese Rechnungen stimmen müssen, kannst du auch durch das Anwenden des Distributivgesetzes

*
erkennen:

*


Genauso funktioniert es auch mit Variablen, die als Potenzen vorkommen. Variablen mit den gleichen Exponenten können zusammengefasst werden:


4)

*

5)

*


Variablen, die nicht den gleichen Exponenten haben, können nicht zusammengefasst werden:


6)

*

7)

*


Wie sieht das aus, wenn mehrere Variablen ins Spiel kommen?

Unterschiedliche Variablen können auch nicht zusammengefasst werden.


8)

9)

*

Allerdings können identische Terme zusammenfasst werden, auch wenn sie mehrere Variablen enthalten:

10)

*

11)

*


Wenn du mehr zu diesem Thema erfahren möchtest, kannst du gerne yên Artikel Terme addieren und subtrahieren weiter lesen.

Multiplizieren von Variablen

Das Multiplizieren von Variablen ergibt sich durch das Anwenden der Potenzgesetze.


1)

*

2)

*


Bei Potenzen wird ähnlich wie bei Koeffizienten der Exponent 1 meistens weggelassen:

*
.


Werden Kombinationen aus Variablen und Zahlen multipliziert, so wird Zahl mit Zahl und Variable mit Variable multipliziert:


Mit dem Kommutativgesetz können die Faktoren so umsortiert werden, dass Zahlen mit Zahlen und gleiche Variablen miteinander multipliziert werden.

3)

*

4)


Variablen – Das Wichtigste

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.

Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie beispielsweise a, b, c oder x, y, z oder Symbolen beschrieben.

Variablen kommen in

Termen,

In Funktionen gibt es die unabhängige Variable (meist x) und die abhängige Variable (meist y).

Die unabhängige Variable kann frei aus der Definitionsmenge gewählt werden.

Die abhängige Variable kann durch Einsetzen eines bestimmten Wertes für die unabhängige Variable in den Funktionsterm berechnet werden.

Verwendung von Variablen:

Wert einer Variable berechnen

Werte in eine Variable einsetzen

mit Variablen rechnen


Häufig gestellte Fragen zum Thema Variablen


Welche Buchstaben sind Variablen?


Für Variablen können alle Buchstaben des Alphabets verwendet werden. Die Umlaute ä, ö, ü und das scharfe s (ß) werden nicht als Variablen verwendet. Oft werden a, b, c oder x, y, z hergenommen. Für Winkel werden meistens griechische Buchstaben angegeben.


Was sind Terme und Variablen?


Variablen sind Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.

Terme sind Rechenausdrücke, die Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenoperationen (+, -, :, *) enthalten können.


Wie kann ich Terme vereinfachen?


Du kannst Terme vereinfachen, indem du gleichartige Terme zusammenfasst.


Wie erkenne ich abhängige und unabhängige Variablen?


Abhängige und unabhängige Variablen findest du in Funktionen. Die unabhängige Variable setzt du in die Funktion ein; meistens wird sie mit x bezeichnet. Die abhängige Variable wird durch Einsetzen der unabhängigen Variable in die Funktionsvorschrift berechnet; sie wird meistens mit y bezeichnet.


Finales Variablen Quiz


Frage


Definiere den Begriff Term.


Antwort anzeigen


Antwort


Ein Term ist ein Rechenausdruck, der Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenoperationen enthalten kann.


Frage anzeigen


Frage


Beschreibe, wie der Wert eines Terms berechnet wird.


Antwort anzeigen


Antwort


Durch das Einsetzen von Zahlen in die auftretenden Variablen, kann ein bestimmter Zahlenwert für den Term berechnet werden.


Frage anzeigen


Frage


Wie wird die Menge der Zahlen genannt, die in einen Term, eine Gleichung oder eine Funktion eingesetzt werden darf?


Antwort anzeigen


Antwort


Die Menge der Zahlen, die eingesetzt werden darf, wird Definitionsmenge genannt.


Frage anzeigen


Frage


Definiere den Begriff Gleichung.


Antwort anzeigen


Antwort


Eine Gleichung setzt sich aus zwei Termen zusammen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.


Frage anzeigen


Frage


Was ist die Lösungsmenge einer Gleichung?


Antwort anzeigen


Antwort


Die Lösungsmenge einer Gleichung umfasst alle Werte, die eingesetzt in die Variable, die Gleichung erfüllen.


Frage anzeigen


Frage


Definiere den Begriff Funktion.


Antwort anzeigen


Antwort


Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zuordnet.


Frage anzeigen


Frage


Was ist ein Koeffizient?


Antwort anzeigen


Antwort


Ein Koeffizient ist die Zahl, die vor einer Variablen oder einer Kombination aus Variablen steht.


Frage anzeigen


Frage


Beschreibe, wie gleichartige Variablen zusammengefasst werden.


Antwort anzeigen


Antwort


Beim Zusammenfassen gleichartiger Variablen werden die Koeffizienten addiert oder subtrahiert und die Variable wird beibehalten.


Frage anzeigen


Frage


Wie werden Kombinationen aus Zahlen und Variablen multipliziert?


Antwort anzeigen


Antwort


Werden Kombinationen aus Variablen und Zahlen multipliziert, so wird Zahl mit Zahl und Variable mit Variable multipliziert.


Frage anzeigen


Frage


Wie wird ein Term genannt, der keine Variablen enthält?


Antwort anzeigen


Antwort


Ein Term, der keine Variablen enthält, wird Zahlterm genannt.


Frage anzeigen


Mehr zum Thema Variablen
*
60%

der Nutzer schaffen das Variablen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Mehr Erklärungen zum Thema Analysis


Funktion spiegeln Lernen


Kurvendiskussion Lernen
Ableitung Wurzel Lernen
Exponentialfunktion Lernen
Partielle Ableitung Lernen
Periodizität Lernen
Extremstellen Lernen
pq Formel Lernen
Differenzierbarkeit Lernen
Verketten von Funktionen Lernen
Ganzrationale Funktion Lernen
Integralrechnung Lernen
Gebrochenrationale Funktionen Lernen
Polynomdivision Lernen
Partielle Integration Lernen
Bestimmtes Integral Lernen
Kettenregel Lernen
Integration durch Substitution Lernen
Schnittpunkt berechnen Lernen
E Funktion integrieren Lernen
Wachstum und Zerfall Lernen
Funktion Lernen
Kosinusfunktion Lernen
Ableitung ln Lernen
Punktprobe Lernen
Sinusfunktion Lernen
Fläche zwischen Graph und x-Achse Lernen
Newton Verfahren Lernen
Exponentialfunktion integrieren Lernen
Lokale Extremstellen Lernen
Extremwert berechnen Lernen
Integralfunktion Lernen
Parabel Lernen
Schnittpunkte berechnen Parabeln Lernen
Konstante Funktion Lernen
Differenzregel Lernen
Funktionsgraphen Lernen
Krümmungsverhalten Lernen
Betragsfunktionen Lernen
Wichtige Stammfunktionen Lernen
Besondere Ableitungen Lernen
Bogenlänge Lernen
Stammfunktion bilden Lernen
Zwischenwertsatz Lernen
Polynomfunktion Lernen
Anwendung der Differentialrechnung Lernen
Passante Lernen
Ableitung ganzrationaler Funktionen Lernen
Globale Extrema Lernen
Quadratische Funktionen Lernen
Allgemeine Logarithmusfunktion Lernen
Schnittpunkte berechnen Parabel und Gerade Lernen
Quotientenregel Lernen
Mitternachtsformel Lernen
Verhalten von Funktionen Lernen
Krümmung und Wendepunkte Lernen
Faktorregel Lernen
Symmetrie von Funktionen Lernen
Partialbruchzerlegung Lernen
Wendepunkt berechnen Lernen
Wertetabelle Lernen
Austauschprozesse Lernen
Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Lernen
e Funktion Lernen
Parameter Lernen
Geradengleichung aufstellen Lernen
Ableitung Umkehrfunktion Lernen
Schnittpunkt zweier Geraden Lernen
Zuordnung Lernen
Transformation von Funktionen Lernen
Grundbegriffe Funktionen Lernen
Trigonometrische Funktionen Parameter Lernen
Umkehrfunktion Lernen
Quadratische Ergänzung Lernen
Cardanische Formel Lernen
Stammfunktion ln Lernen
Kurvendiskussion e-Funktion Lernen
Logarithmus ableiten Lernen
Stetigkeit Lernen
Wertebereich Lernen
Asymptote Lernen
y Achsenabschnitt Lernen
E Funktion ableiten Lernen
Trigonometrische Funktionen integrieren Lernen
Eigenschaften des Integrals Lernen
Tangensfunktion Lernen
Summenregel Lernen
Parabel verschieben Lernen
Vielfachheit von Nullstellen Lernen
Definitionslücke gebrochen rationale Funktion Lernen
Allgemeine Exponentialfunktion Lernen
Tangente Lernen
Nullstellen berechnen quadratische Funktion Lernen
Rotationskörper Volumen Lernen
Trigonometrische Funktionen Lernen
Funktionen Lernen
Sekante Lernen
Gebrochen rationale Funktionen ableiten Lernen
Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen Lernen
Fläche zwischen zwei Graphen Lernen
Unbestimmtes Integral Lernen
Nullstellen berechnen Lernen
Differentialquotient Lernen
Halbwertszeit Mathe Lernen
Ableitung Potenzfunktion Lernen
Scheitelpunkt berechnen Lernen
Logarithmusgesetze Lernen
Substitution Nullstellen Lernen
Kurvendiskussion Funktionsschar Lernen
Schnittpunkt zweier Funktionen Lernen
Natürlicher Logarithmus Lernen
Kurvendiskussion Logarithmusfunktion Lernen
Grenzwerte Lernen
Summe und Differenz von Funktionen Lernen
Lineares Wachstum Lernen
Schnittpunkt Lernen
Kurvendiskussion Polynomfunktion Lernen
Lineare Substitution Lernen
Mittlere Änderungsrate Lernen
Ableitung trigonometrische Funktionen Lernen
Ableitungsregeln Lernen
Schnittwinkel berechnen Lernen
Tangente an Parabel Lernen
Graphen zeichnen Lernen
Funktion strecken Lernen
Lineare Funktionen Lernen
Satz vom Nullprodukt Lernen
Produktregel Lernen
Graphen verschieben Lernen
Potenzfunktionen Lernen
Ursprungsgerade Lernen
Horner-Schema Lernen
Exponentielles Wachstum Lernen
Ganzrationale Funktionen Nullstellen Lernen
Wurzelfunktion Lernen
Uneigentliche Integrale Lernen
Funktionsscharen Lernen
Logarithmusfunktion Lernen
Funktionsgleichung aus Punkten bestimmen Lernen
Logarithmus integrieren Lernen
Kurvendiskussion Beispiele Lernen
Definitionsbereich bestimmen Lernen
Satz von Vieta Lernen
Monotonieverhalten Lernen

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer


*

Biologie

Themen anzeigen
*

Chemie

Themen anzeigen
*

Deutsch

Themen anzeigen
*

Englisch

Themen anzeigen

Französisch

Themen anzeigen

Geographie

Themen anzeigen

Geschichte

Themen anzeigen

Kunst

Themen anzeigen

Latein

Themen anzeigen

Physik

Themen anzeigen

Psychologie

Themen anzeigen

Spanisch

Themen anzeigen

Wirtschaft

Themen anzeigen

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!


*

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.


*

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.


*

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.


*

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.


*

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.


*

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.


*

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.


*

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.


*

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.


*

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.


*

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.


*

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.


Lerne mit Millionen von Menschen auf fkhorizont-turnovo.com

tiện ích nutzen

Melde dich an für Notizen và Bearbeitung. 100% for free.


JETZT KOSTENLOS ANMELDEN
subtopic-ab
Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen


fkhorizont-turnovo.com steht für die Erstellung von kostenlosen, qualitativ hochwertigen Erklärungen, um Bildung für alle zugänglich machen. Durch eine Registrierung erhältst du kostenlosen Zugang zu unserer trang web und unserer phầm mềm (verfügbar auf dem Desktop UND auf dem Smartphone), die dir helfen werden, deinen Lernprozess zu verbessern.

Xem thêm: Các Mẫu Câu Có Từ "Phù Hợp" Trong Tiếng Việt Được Dịch Sang Tiếng Đức


Kostenlos registrierenLieber später
Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen


fkhorizont-turnovo.com steht für die Erstellung von kostenlosen, qualitativ hochwertigen Erklärungen, um Bildung für alle zugänglich machen. Durch eine Registrierung erhältst du kostenlosen Zugang zu unserer trang web und unserer ứng dụng (verfügbar auf dem Desktop UND auf dem Smartphone), die dir helfen werden, deinen Lernprozess zu verbessern.
Kostenlos registrierenLieber später
*
*
Deutsch
Unternehmen
Produkt
Help
© fkhorizont-turnovo.com